Witam serdecznie!
Dziś zajmiemy się funkcją specjalną: funkcją gamma.
Funkcjami specjalnymi są funkcje, które nie są funkcjami elementarnymi tj. funkcje stałe, logarytm czy funkcje trygonometryczne.

Funkcja gamma
to funkcja specjalna, rozszerzające pojęcie silni na liczby rzeczywiste i zespolone.
Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to funkcja gamma ma postać:
\displaystyle{\Gamma(z) =\int \limits^\infty_0}t^{z-1}e^{-t}dt

Zanim przedstawię własności owej funkcji, powtórzę co znaczy pojęcie silni.
silnia – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n.

np 4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4

Definicja formalna:
Funkcję \cdot !: \mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_+ definiuje się następująco:
\displaystyle{n!= \prod\limits_{k=1}^n dla \ n\geqslant 1}

Jak już pisałem wcześniej, funkcja gamma jest rozszerzeniem pojęcia silni na liczby rzeczywiste i zespolone.
Spełnia ona poniższe własności:

\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)

Ponieważ \displaystyle{\Gamma(1)=1} to: \displaystyle{\Gamma(n+1)=n!}

Wyznaczę wprost z definicji, że \displaystyle{\Gamma(1)=1}: \displaystyle{\Gamma(1)=\int\limits^{\infty}_{0}t^{1-1}e^{-t}dt =\int\limits^{\infty}_{0}e^{-t}dt=-e^{-t} \bigg|_0^\infty=1}

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n.
Rekurencyjnie wygląda to tak:

\displaystyle{n!!= \left\{\begin{array}{rcl}1\ \quad \textrm{dla}\ n=0 \ \textrm{lub}\ n=1 \\n\cdot(n-2)!! \quad\ dla \ \geqslant 2\\ \end{array} \right.}

a tak wygląda zależność od funkcji \Gamma:
\displaystyle {\Gamma (n+\frac{1}{2})=\sqrt\pi\frac{(2n-1)!!}{n^2}}

Funkcję gamma możemy przedstawić za pomocą poniższego równania:

\displaystyle{\Gamma(z)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)\dots (z+n)}=\frac{1}{z}\prod\limits_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}}

Kolejna własność liczby gamma to:

\displaystyle {\Gamma(z)\cdot\Gamma(z+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt\pi}{2^{2\cdot z-1}}\cdot\Gamma(2z)}

Okazuje się, że inna funkcja specjalna, funkcja Beta(całka Euelera pierwsze go rodzaju) może być przedstawiona za pomocą funkcji gamma:

Funkcja Beta: \displaystyle {B(x,y)= \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1}dt } dla \mathfrak{R}(x),\mathfrak{R}(y)

a to inny sposób przedstawienia funkcji Beta:

\displaystyle{B(x,y)=\frac{\Gamma (x) \Gamma (y)}{\Gamma(x+y)}}

Na dziś tyle 🙂

1 KOMENTARZ

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here