Witam serdecznie!
Dziś poczytacie o goniometrii, czyli dziale matematyki zajmujący się funkcjami trygonometrycznymi.
Wyjdziemy jednak dziś poza zakres szkoły średniej i dowiemy się czym są funkce cyklometryczne, hiperboliczne itd

Zaczniemy od tych nam znanych, czyli funkcji trygonometrycznych.
Okazuje się, że jest wiele sposobów na przedstawienie funkcji trygonometrycznych. Ja wybrałem dwa.
Jedno z nich to Definicja z elementów trójkąta prostokątnego a druga definicja za pomocą szeregu Taylora.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego:

Definicja za pomocą szeregu Taylora

Za pomocą szeregów można określić wartości funkcji trygonometrycznych dla każdej liczby rzeczywistej. Część z nich definiuje się na zbiorze liczb zespolonych a nawet kwaternionach (o których pisałem już na blogu)

A teraz wykresy dla funkcji trygonometrycznych:
sinus

cosinus

tangens

cotangens

secans

cosecans

A teraz przydatna tabelea wartości poszczególnych funkcji:

Na tę chwilę przedstawiam jak wyglądają pochodne funkcji trygonometrycznych i ich uogólnienie na wyższe wymiary.

I na koniec całeczki funkcji trygonometrycznych:

Tyle na temat, jeśli chodzi o funkcje trygonometryczne. Teraz przejdziemy do funkcji cyklometrycznych:

Są to po prostu funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale
[-\frac{\Pi}{2},\frac{\Pi}{2}]

arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale [0, \Pi]

arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale [-\frac{\Pi}{2},\frac{\Pi}{2}]

arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale [0, \Pi]

Teraz zajmiemy się funkcjami trygonometrycznymi zmiennej zespolonej
Jak to w matematyce powszechne, najlepiej uogólniać, i tak uogólniono funkcje trygonometryczne na zmienną zespoloną.

Niektóre z własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej uogólniono na liczby zespolone. Są nimi:

-okresowość (w tym okres podstawowy),
-tożsamości trygonometryczne,
-miejsca zerowe,
-punkty nieokreśloności: sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty:

I przyszedł czas na funkcje hiperboliczne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej:
a tak oto się przedstawiają wzory, którymi są one opisane:

Teraz kilka ciekawostek dotyczących funkcji hiperbolicznych:
(cosht)^2+(sinht)^2=1

-Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą
-Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla x>0 i malejącą dla x<0
-Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą
Z cosinusem hiperbolicznym wiąże się pojęcie krzywej łańcuchowej:
krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej masie[1] swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym

I na koniec funkcje hiperboliczne odwrotne:

Jeśli chcecie bym rozszerzył którąś część artykułu lub macie pytanie: piszcie w komentarzach.
Zapraszam do czytania i komentowania!

Bibliografia:
pl.wikiperdia.org

3 KOMENTARZE

  1. Nie no początek niby rozumiem, przecież to dzieci liczą przy śniadaniu… Ale kurwa potem znowu zaczyna się pieprzona magia. Kiedyś do tego dojdę, ale dzięki za demonstracje, że takie cuda istnieją. Te czary zespolone, urojone, całkowione i inne jeszcze przede mną. Pozdrawiam, czekam na kolejne artykuły (szczególnie, że wkrótce zaczynam studia inż.).

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here