Witam!
Może na początek czym jest szereg. Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników.
Może on się składać z wyrazów liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych).

Warto na początek dodać, że szereg \displaystyle{\sum a_n} jest zbieżny jeśli ciąg sum ma granicę skończoną.

Zaczniemy od kryterium porównawczego:
Załóżmy, że dla każdego n \in N zachodzą nierówności:

0\leq a_n \leq b_n

W takiej sytuacji mamy:
Jeśli szereg \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n} jest zbieżny to szereg \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} jest zbieżny.

Czas na przykład:
Zastosuj kryterium porównawcze:
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n-1}{3n-1}}
\displaystyle{\frac{2^n+1}{3^n-1}\leq\frac{2^2+2^n}{3^n-1}\leq\frac{2^n+2^n}{3^n}=\frac{2\cdot 2^n}{3^n}=2 \cdot(\frac{2}{3})^n}

Kryterium ilorazowe
Możemy założyć, że od pewnego miejsca począwszy wyrazy ciągów a_n i b_n​ są dodatnie oraz istnieje granica
k= \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}}
która jest właściwa i dodatnia 0<k<\infty, wówczas szeregi \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} oraz \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n} są albo oba zbieżne albo oba rozbieżne. Kryterium to stosujemy gdy mamy \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} i szukamy szerego \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}, gdzie podejrzewamy, że jest on zbieżny lub rozbieżny oraz podejrzewamy granicę {\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}}\frac{a_n}{b_n} że jest dodatnia i skończona. Najłatwiej stosuje się to kryterium do funkcji wymiernych zmiennej n. Dzięki temu możemy za szereg \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n} podstawić \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{n^p} dla odpowiednio dobranego p>1.

Kryterium d’Alemberta
Zakładamy, że jestnieje granica \displaystyle{q=\lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}. Wówczas szereg \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}:
jest zbieżny, jeśli q<1​ jest rozbieżny, jeśli q>1​ (w szczególności jeśli q=\infty).

Ciakwostką jest, że jeśli q=1 kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} czy szereg jest zbieżny czy nie.

Łatwo sprawdzić, że \displaystyle{\lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1} dla \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{n^2} a także \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{n}

\displaystyle{\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{1}}{n^2}}=\lim \frac{n^2}{(n+1)^2}=1
tak ot wygląda dla pierwszego przypadku, teraz rozważymy drugi:
\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\frac{1}{n+1}}{1}}{n}= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=1

Na dziś koniec, ale niebawem wrócimy do kolejnych kryteriów zbieżności szeregów.
Żegnam!

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here