Krzywą eliptyczną będziemy nazywać gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem O, zwanym “punktem w nieskończoności”. Straszne, prawda?
To może prościej: Krzywą eliptyczną reprezentuje równanie algebraiczne postaci: y^2=x^3+ax+b
A wcześniej wspominany punkt w nieskończoności to “górny koniec osi OY.
A genusem nazywać będziemy liczbę otworów w rozmaitości. Sfera będzie miała genus g=0 a torus g=1.

Mając dwa punkty: P_1=(x_1,y_1) oraz P_2=(x_2,y_2) na krzywej E możemy obliczyć punkt P_3=(x_3,y_3).
\Large{x_3 = m^2-x_1-x_2}
\Large{y_3=m(x_1-x_2)-y_1}
\Large{\begin{cases} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{dla } P_1 \neq P_2\\ \frac{3x^2_1+a}{2y_1}&\text{dla } P_1=P_2 \end{cases}}
Jeśli m jest nieskończone to P_3= \infty

W przypadku ciała liczb zespolonych \mathbb{C} krzywa eliptyczna dana równaniem: Y^2=X^3+aX+b jest tzw. powierzchnią Riemanna genusu g=1 czyli torusem.

Poniżej przykłady krzywych eliptycznych nad ciałem liczb rzeczywistych \mathbb{R}
eliptic

Krzywe eliptyczne mają szerokie zastosowanie w współczesnej kryptografii.
W 1994 Andre Wilesowi udało się podać dowód tzw. Wielkiego Twierdzenia Fermata, korzystając właśnie z zagadnień związanych z krzywymi eliptycznymi.

Samo twierdzenie brzmi tak: dla liczby naturalnej n>2 nie istnieją takie liczby naturalne dodatnie x,y,z, które spełniałyby równanie x^n+y^n=z^n

Fermat zanotował je na marginesie książki Arithmetica Diofantosa i opatrzył następującą uwagą:

“znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały, by go pomieścić”.

Dziś matematycy próbują znaleźć dowód twierdzenia na bazie teorii liczb.

Przykładem zastosowania krzywych eliptycznych jest OpenSSL – otwarta implementacja protokołów szyfrujących opartych o algorytmy na krzywych eliptycznych.

2 KOMENTARZE

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here