Na początek chciałbym zaprosić Was do czytania i obserwowania bloga mojego przyjaciela. Tutaj link: http://datart.pl/. Znajdziecie na nim wpisy o tematyce programowania. Serdecznie zapraszam!

Pierwszym przykładem rozmaitości różniczkowalnej będzie sfera.

Niech dany będzie podzbiór w \mathbb{R}^{n+1}
\displaystyle{S^n(r)={(x_0,x_1,\cdots,x_n \in \mathbb{R}^{n+1} | \sum^{n}_{i=0}x^{2}_i=r^2}} ,
gdzie r>0

Określimy teraz atlas na zbiorze S^n z topologią indukowaną z przestrzeni \mathbb{R}^{n+1}.
Rozważmy dwe przeciwległe bieguny sfery S^n leżące na zerowej osi b^{+}=(r,0,\cdots,0) i b^{-}=(-r,0,\cdots,0) i dwa zbiory otwarte w S^n

U^{+}=S^n \ \{b^{+}\},U^{-}=S^n \ \{b^{-}\},

Niech A będzie punktem należącym do U^+. Aby określić jego rzut stereograficzny \displaystyle{\varphi: U^+\rightarrow \mathbb{R}^n} z punktu b^+ należy:
1. Umieścić hiperpłaszczyznę \mathbb{R}^n jako styczną do sfery w punkcie b^-
2. Poprowadzić prostą przez punkt A i biegun b^+, która przecina hiperpłaszczyznę styczna dokładnie w jednym punkcie A’
Punkt A’ nazywamy rzutem stereograficznym A i oznaczamy A'=\varphi^+ (A)

Jak widać na powyższym rysunku podobnie określimy rzut stereograficzny \varphi^- : U^+ \rightarrow \mathbb{R}^n z punktu b^- zamieniając tylko między sobą rolę biegunów b^+ i b^-.

Czas na torus.
Zbiór T=S^1(r)\times S^1(R) nazywamy torusem. Poniżej przedstawiam jego wygląd:

Jest to rozmaitość wymiaru 2. Można też określić torus n-wymiarowy: T=S^1(r_1)\times \cdots \times S^1(r_n)
Torus jest przykładem iloczynu kartezjańskiego dwóch rozmaitości.

Teraz wstęga Möbiusa.
W iloczynie kartezjańskim [0,1]\times\mathbb{R} określamy relację równoważności klejącą punkt (0,x) z punktem (1,-x), tzn. że klasa równoważności [(t,x)] jest zbiorem jedno- lub dwuelementowym według zasady:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \{(t,x) \}&\mbox{gdy}&t\neq0,1\\ \{(0,x),(1,-x) \}&\mbox{gdy}&t=0\\ \{(0,-x),(1,x) \}&\mbox{gdy}&t=1\end{array}\right.

Niech W będzie zbiorem ilorazowym [0,1]\times\mathbb{R} przez powyższą relację równoważności wyposażonych w topologię ilorazową.
Wtedy W nazywamy wstęgą Móbiusa.

Poniżej przedstawiam sposób klejenia punktów:

Butelka Kleina:
Butelkę Kleina budujemy podobnie do wstęgi Mobiusa. Okrąg S^1 traktujemy jako zbiór liczb zespolonych takich, że ||z||=1.
Jeżeli z \in S^1, to \overline{z} jest tez punktem okręgu. W iloczynie kartezjańskim [0,1]\times S^1 sklejamy punkty (0,z) oraz 1,\overline{z}. Zbiór ilorazowy oznaczamy przez K i nazywamy butelką Kleina. Poniżej grafika ją przedstawiająca:

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here