1. Transformacje układów współrzędnych

Operacja liniowa:

\displaystyle{\widetilde{\underline{x}}}=\mathbf{A\underline{x}} lub

(wzór 1)
\widetilde{x_1}=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3
\widetilde{x_1}=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3
\widetilde{x_1}=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3

definiuje w przestrzeni trójwymiarowej transformację układu współrzędnych.
x_\mu i \widetilde{x}_\mu (\mu=1,2,3) są współrzędnymi tego samego punktu w dwóch różnych układach współrzędnych.

Zamiast posługiwać się powyższym wzorem można zastosować konwencje sumacyjną Einsteina:
\displaystyle{\widetilde{x}_\mu=\sum_{\nu=1}^{3}a_{\mu\nu}x_\nu} dla \mu=1,2,3
\widetilde{x}_\mu=a_{\mu\nu}x_\nu

Konwencje sumacyjną można wytłumaczyć tak: Jeśli jakiś indeks pojawia się dwa razy to całe wyrażenie jest sumowane po wszystkich ustalonych z góry wartościach indeksu. Jeśli zaś któryś z indeksów występuje tylko raz to równanie jest spełnione dla wszystkich wartości tego parametru i indeks ten jest indeksem bieżącym.

Jeżeli kartezjański układ współrzędnych \widetilde{K} otrzymano z układu K przez obrót, to macierz tej transformacji \mathbf{A=D=}(d_{\mu\nu}) jest ortogonalna i nazywamy ją macierzą obrotu.

Ortogonalna macierz obrotu \mathbf{D} ma taką własność:
\mathbf{D}^{-1}=\mathbf{D}^{\mathbf{T}}

Ortogonalność macierzy obrotu \mathbf{D} tzn. własność:
\mathbf{DD^\mathbf{T}}=\mathbf{E} oraz \mathbf{D}^{\mathbf{T}}\mathbf{D}=\mathbf{E}

możemy zapisać w następujący sposób:

\displaystyle{\sum_{i=1}^{3}d_{\mu i}d_{\nu i}=\delta_{\mu\nu}}
\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}d_{k\mu}d_{k\nu}=\delta_{\mu\nu}}

dla (\mu,\nu=1,2,3)

i z powyższych dwóch równań wynika fakt, że wiersze i kolumny macierzy \mathbf{D} są wzajemnie ortonormalne a \delta_{\mu\nu} jest symbolem Kroneckera.

2. Tensory we współrzędnych kartezjańskich

NIech dany będzie obiekt \mathbf{T} opisany w układzie kartezjańskim K przez 3^n niezmienniczych względem translacji elementów t_{ij\dots m}
NIech n będzie liczbą indeksów i,j,\dots,m (n\ge 0) przy czym indeksy są uporządkowane i przyjmują wartości: 1,2,3.

Jeśli elementy t_{ij\dots m} przechodząc z układu współrzędnych K do \widetilde{K} okreslony wzorem 1, transformują jak niżej:

\displaystyle{\widetilde{t}_{\mu\nu \dots \rho}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\dots\sum_{m=1}^{3}a_{\mu i}a_{\nu j} \dots a_{\rho m}t_{ij \dots m}},
to \mathbf{T} nazywamy tensorem n-tego rzędu a uporządkowane elementy t_{ij\dots m} określamy mianem składowych tensora \mathbf{T}.

Przykłady tensorów:

Tensor zerowego rzędu: ma tylko jedną składową czyli jest skalarem. Jego wartość jest taka sama we wszystkich układach współrzędnych a więć jest również niezmiennikiem skalarnym

Tensor pierwszego rzędu: ma 3 składowe t_1,t_2,t_3 a wzór transformacyjny ma postać:

\displaystyle{\widetilde{t}_\mu=\sum_{i=1}^{3} a_{\mu i}t_i} dla (\mu=1,2,3)

Tensor drugiego rzędu: tensor T ma 9 składowych t_{ij} i przedstawiamy je w postaci macierzowej:
\mathbf{T} =\left( \begin{array}{ccc}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\t_{21} & t_{22} & t_{23} \\t_{31} & t_{32} & t_{33} \end{array} \right)

Wzór transformacyjny ma postać:
\displaystyle{\widetilde{t}_{\mu\nu}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_{\mu i}a_{\nu j}t_{ij}} dla (\mu=1,2,3)

3. Rachunki
Elementarne działania algebraiczne: mnożenie tensora, dodawanie i odejmowanie tensorów tego samego rzędu wykonujemy po współrzędnych analogicznie do operacji na wektorach i macierzach

Iloczyn tensorowy: mamy tensory \mathbf{A} i \mathbf{B} o składowych a_{ij\dots} oraz b_{rs\dots} rzędu m i n.
Możemy teraz zdefiniować 3^{m+n} wielkości skalarnych:

c_{ij \dots rs \dots}=a_{ij\dots}b_{rs\dots}

będących składowymi tensora \mathbf{C} rzędu m+n. Możemy zapisać \mathbf{C=AB} i wynikiem jest iloczyn tensorowy tensorów A i B.
Dla tensorów obowiązują prawa łączności \mathbf{(AB)C=A(BC)} i rozdzielności \mathbf{A(B+C)=AB+AC}.

iloczyn diadyczny iloczyn dwóch tensorów pierwszego rzędu \mathbf{A}=(a_1,a_2,a_3) i \mathbf{B}=(b_1,b_2,b_3) jest tensorem drugiego rzędu o elementach c_{ij}=a_i b_j dla (i,j=1,2,3) lub za pomocą macierzy:

\left( \begin{array}{ccc}a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3\end{array} \right)

i nazywamy ten iloczyn: iloczynem diadycznym wektorów \underline{A} i \underline{B}

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here