Dziś zajmiemy się wprowadzeniem w tematykę fraktali. Dokładniej zajmiemy się wymiarem Hausdorffa zbioru i definicją fraktala.
Na początek zaznaczę, że wszystkie rozważania dotyczą zbiorów w przestrzeni \mathbb{R}^n z metryką euklidesową d.
By wprowadzić pojęcie wymiaru Hausdorffa zbioru niezbędne będą tu definicje i lematy przygotowawcze.

Średnicę zbioru A \subset \mathbb{R}^n nazywamy:

diamA= sup\{d(x,y): x,y \in A\}

\delta-pokryciem zbioru A (\delta > 0) nazywamy przeliczalną rodzinę zbiorów \{U_i: i \in I \subset N\}, taką, że \displaystyle{A\subset \bigcup_{i \in I}U_i} oraz diam U_i \in (0,\delta]. Dla \delta >0 i s\geq 0 określamy:

\displaystyle{H_{\delta}^s(A)=inf \{\sum_{i\in I}(diam U_i)^s:(U_i)_{i \in I} \in M(\delta)\}}, gdzie M(\delta) oznacza rodzinę wszystkich \delta-pokryć zbioru A.

(Dowody poniższych 3 lematów podam w kolejnym artykule, o ile będą chętni na zapoznanie się z nimi)

Lemat 1
Istnieje granica \displaystyle{H^s(A)= \lim_{\delta \rightarrow 0}H_{\delta}^s(A)=sup_{\delta>0}H_{\delta}^s(A)}

Lemat 2
Dla każdego zbioru A\subset \mathbb{R}^n funkcja s\rightarrow H^s(A), (s\geq 0) jest funkcją nierosnącą. Jeśli s<t , to dla każdej liczby \delta \in (0,1) jest: H_{\delta}^s (A)\geq \delta^{s-t}H_{\delta}^t(A)

Lemat 3
Jeśli s>n, to dla każdego A \subset \mathbb{R}^n jest H^s(A)=0

Twierdzenie 1
Niech A\subset \mathbb{R}^n. Istnieje wtedy dokładnie jedna liczba d\geq 0 taka, że:
H^s(A)=\begin{cases} \infty &\text{dla }0 \leq s < d\\0 &\text{dla } s>d \end{cases}

Definicja 1
Liczbę d, o której mowa w twierdzeniu 1, nazywamy wymiarem Hausdorffa zbioru A i oznaczamy d=dim_H(A)
dim_H (A)= inf \{s\geq0 : H^s(A)=0\}

Definicja 2
Podzbiór A przestrzeni \mathbb{R}^n nazywamy fraktalem , gdy jego wymiar Hausdorffa dim_H(A) jest liczba większa od jego wymiaru topologicznego.

Kilka własności:
– Fraktal jest zbiorem relatywnie zwartym
– Miara Lebesgue’a fraktala jest równa 0
– Jeśli F jest fraktalem oraz dim_H(F)\in(0,1), to jest on zbiorem całkowicie niespójnym
– Fraktal jest zbiorem spójnym lub całkowicie niespójnym
– Wymiar Hausdorffa zbioru otwartego jest równy zero
– Wymiar Hausdorffa jest niezmiennikiem dyfeomorfizmów.

W kolejnym artykule przeczytamy o atraktorach systemu IFS.

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here