Dziś krótki artykuł z serii Teoria chaosu. Zajmiemy się dziś, tak jak poprzednio, fraktalami.
Dziś powiemy o wymiarze Hausdorffa i Kołmogorowa oraz o możliwości oszacowania wymiaru Hausdorffa.

Na początek o wymiarze samopodobnego atraktora systemu IFS

w \mathbb{R}^n każde podobieństwo S o skali r jest postaci S(x)=rU(x)+b , gdzie b \in \mathbb{R}^n oraz U(x) jest przekształceniem ortogonalnym w \mathbb{R}^n (jest reprezentowany przez macierz ortogonalną o wymiarze n x n

Jeśli rozważymy system hiperboliczny IFS (\mathbb{R}^n;w_1,\cdots,w_N) gdzie w_ir_i-podobieństwami, i \in \{1, \cdots,N\}.

Niech \displaystyle{K=\bigcup_{i=1}w_i(K)} będzie atraktorem Barnsleya wyznaczonym przez IFS.

Atraktor hiperbolicznego systemu IFS nazywamy samopodobnym, jeżeli funkcje w_i, i=1,2,\cdots, N są odpowiednio r_i-podobieństwami dla r_i \in (0,1)

Wymiarem samopodobieństwa dim_s(K) atraktora K systemu IFS, gdzie w_ir_i-podobieństwami nazywamy liczbę s, która jest rozwiązaniem równania:

\displaystyle{\sum_{i=1}^N r_i^s=1}

System hiperboliczny IFS (X;w_1,\cdots,w_N) spełnia “warunek zbioru otwartego” jeśli istnieje zbiór otwarty U\subset \mathbb{R}^n taki, że:

1. w_i(U) \subset U dla i=1,2,\cdots,N
2. w_i(U) \bigcap w_j(U)=\phi dla i\neq j, i,j=1,\cdots,N

Przykładem atraktora samopodobnego jest: Dywan Sierpińskiego:

Jeśli dany jest system IFS gdzie w_ir_i-podobieństwami i spełniony jest “warunek zbioru otwartego” to:

dim_H(K)=s=dim_s(K) i ponadto: H^s(K) \in (0,\infty)

Możemy znaleźć się w sytuacji takiej, że atraktor IFS nie jest zbiorem samopodobnym ale jest spełniony pewien warunek, to można oszacować wymiar Hausdorffa, co pozwoli nam stwierdzić, że jest on fraktalem.

Dany jest system hiperboliczny IFS (X;w_1,\cdots,w_N spełniający “warunek zbioru otwartego” ze zbiorem U. Atraktor ten oznaczymy jako K.
Załóżmy dodatkowo, że isteniją liczby dodatnie q_1,\cdots,q_N i r_1,\cdots,r_N takie, że:

q_jd(x,y)\leq d(w_j(x),w_j(y))\leq r_jd(x,y)

dla wszystkich x,y \in U oraz wszystkich j=1,\cdots,N. Wtedy:

s \leq dim_H(K)\leq t, gdzie s,t są zdefiniowane warunkiem:

\displaystyle{\sum_1^N q_j^s=1=\sum_1^N r_j^t}.

Wymiar pojemnościowy Kołmogorowa:

Dla A\subset\mathbb{R}^n rozważmy pokrycie skończone zbioru A kostkami(odcinki, kwadraty, sześciany…) K_i=K_i(\varepsilon) o krawędziach równych \varepsilon. Niech \displaystyle{N(\varepsilon)=min\{m \in \mathbb{N}:A \subset \bigcup_{i=1}^m K_i\}}

Wymiarem pojemnościowym Kołmogorowa zbioru A nazywamy liczbę:

\displaystyle{d_K(A)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{log N(\varepsilon)}{log(\frac{1}{\varepsilon})}}

Jeżeli system IFS spełnia “warunek zbioru otwartego” oraz jego atraktor A jest samopodobny, to:

dim_K A=dim_H A

I na koniec:

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here