Witam,
w tym artykule przedstawię kilka przykładów grup. Pojawią się grupy abelowe, rzędów p, grupy kwaternionów czy też grupy permutacji.

Na początek o elementarnych grupach abelowych p-grupy.
Niech p będzie liczba pierwszą, a n – liczbą naturalną. Grupę C_p \oplus \cdots \oplus C_p, nazywamy p-grupą elementarną abelową i oznaczamy przez C_p^n. Grupa ta jest przestrzenią liniową wymiaru n nad ciałem p-elementowym \mathbb{F}_p.
Podgrupy grupy C_p^n są podprzestrzeniami liniowymi tej przestrzeni, a homomorfizmy p-grup elementarnych ableowych C_p^n \longrightarrow C_p^m są tym samym, co przekształcenia liniowe odpowiednich przestrzeni liniowych.

Okazuje się, że pierwszy wiersz macierzy odwracalnej może byc dowolnym wketorem przestrzeni \mathbb{F}_p^n różny od wektora zerowego a więc można og wyvbrac na p_n -1 sposobów a także drugi wiersz takiej macierzy może być dowolnym wektorem przestrzeni \mathbb{F}_p^n liniowo niezależnym od wiersza pierwszego. Wynika z tego, że można drugi wiersz wybrać na p^n -p sposobów.

Z powyższego wynika, że można wybierać kolejne wiersze jako wektory nienależące do popdrzestrzeni generowanej przez poprzednie wiersze z czego wynika, że rząd grupy GL(n,\mathbb{F}_p^n) jest równy:

\displaystyle{(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)\cdots (p^n-p^{n-1})}

Zanim przejdziemy do przykładów kolejnych grup, przedstawię dwa twierdzenia:
Twierdzenie 1: Jeżeli G jest p-grupą i 1\neq H \lhd G to H \cap \mathfrak{Z}(G)\neq 1
W szczególności jeśli G \neq 1, to \mathfrak{Z}(G)\neq 1 .
Twierdzenie 2: Jeżeli grupa ilorazowa G/\mathfrak{Z}(G) jest cykliczna, to G=\mathfrak{Z}(G), więc grupa G jest abelowa.

Teraz o grupach rzędów p i p^2:
Niech p będzie liczbą pierwszą. Jeśli |G|=p, to każdy element g\in G, g \neq 1, generuje grupę G a więc G=C_p.
Jeżeli |G|=p^2 to na mocy twierdzenia 1 mamy p||\mathfrak{z}(G)| i wobec tego |G/\mathfrak{Z}(G)|p.
Zatem grupa G/\mathfrak{Z}(G) jest cykliczna a z twierdzenia 2 wynika, że jest abelowa.

Grupy rzędu p^3:
Twierdzenie 3: Jeżeli G jest grupą abelową o skończonej liczbie generatorów, to:
G=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus\mathbb{Z}\oplus C_{n_1} \oplus C_{n_2} \oplus \cdots \oplus C_{n_s} ,
gdzie r\ge 0, s\ge oraz liczby n_1 \ge n_2 \ge \cdots \ge n_s są potęgami liczb pierwszych o wykładnikach naturalnych.

Niech p będzie liczbą pierwszą. Na podstawie twierdzenia 3 wynika, że isteniją dokładnie 3 nieizomorficzne grupy abelowe rzędu p^3: C_{p^3}, C_{p^2}\oplus C_p a także C_p \oplus C_p \oplus C_p

Teraz coś o czym już pisałem na blogu, a mianowicie kwaterniony:
Zbiór Q= \{ \pm 1, \pm i \pm j \pm k\} w którym działanie jest określone za pomocą wzorów:
i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j,
jest grupą nieabelową. Nazywamy je grupą kwaternionów.

Centralizator i centrum:
Niec hA będzie podzbiorem grupy G. Zniór:

\displaystyle{\mathfrak{z}(A):=\{g \in G\bigwedge_{a\in A}gag^{-1}=a\} }
jest podgrupą grupy G. Nazywamy ją centralizatorem zbioru A w grupie G.
Szczególnie jeśli A=G to centralizator \mathfrak{z}g(G) nazywamy centrum grupy G i oznaczamy po prostu \mathfrak{z}(G)

Niech G będzie grupą macierzy postaci:

\mathbf{M} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & a & b\\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
gdzie a.b.c. \in \mathbb{F}. Jest to grupa nieabelowa rzędu p^3.
Przez indukcję można ze względu na n można udowodnić, że:
\mathbf{M^n} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & na & nb+ {n \choose k}ac\\ 0 & 1 & nc \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
dla n=1,2,\ldots

Ciekawym twierdzeniem są twierdzenie 4 i 5:
Twierdzenie 4: Dla każdej liczby pierwsze p istnieją dokładnie dwie nieizomorficzne grupy abelowe rzędu p^3
Twierdzenie 5: Jeżeli liczby pierwsze p i q spełniają warunek p|q-1 to istnieje dokładnie jedna z dokładnością do izomorfizmu grupa nieabelowa rzędu pq.

Grupy permutacji:
Niech S_n będzie grupą wszystkich permutacji zbioru \{1,2,\ldots,n\} o n-elementach. Ma ona rząd n!
Permutację \sigma \in S_n zapisujemy w postaci:

\mathbf{\sigma} =\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \ldots & \sigma(n) \end{array} \right)
Permutacje postaci:
\mathbf{\sigma} =\left( \begin{array}{ccccc} a_! & a_2 & \ldots & a_{k-1} & a_k\\ a_2 & a_3 & \ldots & a_k & a_1\end{array} \right)
gdzie elementy a_1,a_2,\ldots,a_k są różne, nazywamy cyklem długości k i zapisujemy w prościej jako (a_1,a_2,\ldots,a_k).
Cykl długości 2 nazywamy transpozycją.

Na koniec o grupie Kleina:
W grupie S_4 permutacji zbioru czteroelementowego \{1,2,3,4\} podzbiór
V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} jest podgrupą izomorficzną z C_1 \oplus C_2

Na teraz koniec, ale o grupach przeczytacie w kolejnych artykułach.
Dzięki!

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here