Funkcja f(t) spełniająca warunki:
1. funkcja f(t)=0 dla t<0 i jest określona dla t\geq 0
2. |f(t)| rośnie nie szybciej niż funkcja wykładnicza, czyli |f(t)|\le Ae^{\sigma t}, gdzie A>0 i \sigma \le 0
3. f(t) ma skończoną liczbę punktów nieciągłości(dla każdego z tych punktów istnieje granica lewo- i prawo- stronna
odpowiada w dziedzinie częstotliwości zespolonych s=\sigma i\omega funkcja F(s) zwana transformatą funkcji f(t).

Przejście z f(t) do F(s) definiiujemy tak:

F(s)= \displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt}
i oznaczamy F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}

Teraz wyznaczymy transformatę Laplace’a funkcji f(t)=e^{at}, gdzie a jest dowolną liczbą, a\neq 0
F(s)= \displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{(a-s)t}dt}=\displaystyle{\frac{1}{a-s}[\lim_{t\to\infty}e^{(a-s)t}-e^0=-\frac{1}{a-s}=\frac{1}{s-a}]}

Jeżeli f(t+T)=f(t) to
\displaystyle{ F(s)= \frac{1}{1-e^{-Ts}}} \displaystyle{{\int_{0}^{T} f(t)e^{-st}dt}}, gdzie T jest okresem funkcji f(t).
Twierdzenie to nosi nazwę: twierdzenia o transformacie funkcji okresowej.

Jeżeli funkcja F(s) określona w półpłaszczyźnie zespolonej Re(s)>\alpha spełnia założenia:
1. F(s) ma pochodną \frac{dF}{ds}
2. \displaystyle{\lim_{Im(s)\to\infty}F(s)=0}
3. całka \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|F(\sigma + i\omega||} jest zbieżna
to funkcja f(t) określona wzorem:
\displaystyle{f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\omega}^{\sigma+i\omega}F(s)e^{st}ds}
jest transformatą odwrotną funkcji F(s) tzn. f(t)=\mathcal{L}^{-1}{F(s)}

Twierdzenie Heaviside’a: Jeżeli L(s) oraz M(s) są wielomianami odpowiednio stopnia l i m gdzie l<m i wielomian M(s) ma n różnych miejsc zerowych s_1,s_2,\ldots, s_n, to:

\displaystyle{\mathcal{L}^{-1}\{\sum_{i=1}^n\}\frac{L(s_i)}{M'(s_i)}e^{s_i}}

Skorzystamy z twierdzenia Heaviside’a i wyznaczymy transformatę odwrotna funkcji:

\displaystyle{F(s)=\frac{s-2}{s(s-1)(s+3)}}

Wypiszemy odpowiednio wielomiany L(s),M(s), M'(s)
L(s)=s-2, M(s)=s(s-1)(s-2)(s+3)=s^3+2s^2-3s, M'(s)=3s^2+4s-3

Jeżeli \displaystyle{c_i=\frac{L(s_i)}{M'(s_i)}} to dla pierwiastków mianownika s_1=-3, s_2=0,s_3=1 otrzymujemy:

\displaystyle{c_1=\frac{L(s_i)}{M'(s_1)}=\frac{L(-3)}{M'(-3)}=-\frac{5}{12}}
\displaystyle{c_2=\frac{L(s_2)}{M'(s_2)}=\frac{L(0)}{M'(0)}=\frac{2}{3}}
\displaystyle{c_3=\frac{L(s_3)}{M'(s_3)}=\frac{L(1)}{M'(1)}=-\frac{1}{4}}

stąd \displaystyle{f(t)=-\frac{5}{12}e^{-3t}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}e^t}

W kolejnych wpisach zajmiemy się równaniami różniczkowymi i równaniami całkowymi, w odniesieniu do transformaty Laplce’a.

ZOSTAW ODPOWIEDŹ

Please enter your comment!
Please enter your name here