Zasady dynamiki Newtona
1. Wprowadzenie do dynamiki klasycznej Dynamika klasyczna jest działem mechaniki zajmującym się opisem ruchu ciał materialnych pod wpływem oddziaływań, przy założeniu absolutnego czasu i euklidesowej struktury przestrzeni. Podstawowym idealizowanym obiektem opisu jest punkt materialny, którego położenie w przestrzeni określa wektor zależny od czasu . Czas w mechanice klasycznej traktowany jest jako parametr uniwersalny i absolutny, […]
Geometria zespolona
1. Wprowadzenie do geometrii zespolonej Geometria zespolona bada struktury geometryczne oparte na liczbach zespolonych , stanowiąc naturalne uogólnienie geometrii różniczkowej i analizy zespolonej na obiekty wielowymiarowe. Podstawowym faktem jest identyfikacja płaszczyzny zespolonej z przestrzenią rzeczywistą poprzez odwzorowanie , co pozwala wprowadzić operator struktury zespolonej dany wzorem i spełniający warunek . W ujęciu ogólnym rozmaitość różniczkowa […]
Dynamika holomorficzna
1. Wprowadzenie do dynamiki holomorficznej Dynamika holomorficzna zajmuje się badaniem zachowania iteracji funkcji holomorficznych, czyli funkcji zespolonych różniczkowalnych w sensie zespolonym. Podstawowym obiektem jest funkcja , a centralnym zagadnieniem analiza ciągu iteracji zadanego przez zależność , gdzie jest punktem początkowym. Całość dynamiki kodowana jest w zachowaniu orbity . Warunkiem holomorficzności funkcji jest spełnienie równań Cauchy’ego–Riemanna […]
Kwantowa Teoria Pola
1. Wprowadzenie do kwantowej teorii pola Kwantowa teoria pola (QFT) stanowi fundamentalny język opisu mikroświata, w którym mechanika kwantowa zostaje połączona z szczególną teorią względności. Jej kluczowym założeniem jest to, że podstawowymi obiektami fizycznymi nie są cząstki punktowe, lecz pola rozciągłe w czasoprzestrzeni, których wzbudzenia obserwujemy jako cząstki elementarne. W ujęciu relatywistycznym pojęcie cząstki jako […]
Fizyka poza Modelem Standardowym
1. Wprowadzenie i motywacja Model Standardowy fizyki cząstek elementarnych stanowi spójny i niezwykle precyzyjny opis mikroświata, oparty na zasadzie lokalnej symetrii cechowania Jego dynamika zawarta jest w lagranżjanie postaci który z powodzeniem opisuje wszystkie znane cząstki elementarne oraz trzy z czterech fundamentalnych oddziaływań. Motywacją do wyjścia poza Model Standardowy jest jednak fakt, że teoria ta […]
Teoria pola
1. Pojęcie pola w fizyce i matematyce Pojęcie pola stanowi jedno z najbardziej fundamentalnych pojęć zarówno w matematyce, jak i w fizyce teoretycznej, opisując wielkości fizyczne i geometryczne przypisane punktom przestrzeni lub czasoprzestrzeni. W ujęciu matematycznym pole skalarne definiuje się jako funkcję , gdzie jest rozmaitością, natomiast pole wektorowe jako przekrój wiązki stycznej . Każdemu […]
Model Standardowy
1. Wprowadzenie i motywacja Model Standardowy fizyki cząstek elementarnych stanowi najbardziej kompletny i precyzyjnie sprawdzony opis mikroświata, jaki dotychczas opracowano. Jego podstawą jest lokalna symetria cechowania: która determinuje zarówno strukturę oddziaływań, jak i dozwolone postacie lagranżjanu teorii. Model Standardowy opisuje wszystkie znane cząstki elementarne oraz trzy z czterech oddziaływań fundamentalnych, z pominięciem grawitacji. Motywacją do […]
Hipoteza Riemanna
1. Wprowadzenie i znaczenie problemu Hipoteza Riemanna jest jednym z najważniejszych i najbardziej wpływowych nierozwiązanych problemów współczesnej matematyki. Została sformułowana w 1859 roku przez Bernhard Riemann w pracy poświęconej własnościom funkcji dzeta oraz ich związkowi z rozkładem liczb pierwszych. Mimo pozornie prostej treści, hipoteza ta ujawnia niezwykle głęboką strukturę łączącą analizę zespoloną, teorię liczb oraz […]
Rotacja, gradient i dywergencja
1. Wprowadzenie do analizy wektorowej Analiza wektorowa jest działem matematyki zajmującym się badaniem pól wektorowych i skalarnych oraz operatorów różniczkowych działających na tych polach. Stanowi ona podstawowy język opisu zjawisk fizycznych w mechanice klasycznej, elektrodynamice, mechanice płynów oraz teorii pola, gdzie wielkości fizyczne zależą jednocześnie od położenia w przestrzeni i czasu. Podstawowym obiektem jest wektor […]
Matematyka w farmakokinetyce i farmakodynamice leków psychotropowych
1. Farmakokinetyka – modele matematyczne leków Farmakokinetyka opisuje czasową ewolucję stężenia leku w organizmie za pomocą formalizmu matematycznego, którego podstawą są równania różniczkowe zwyczajne. W przypadku leków psychotropowych modele te mają szczególne znaczenie, ponieważ substancje te często charakteryzują się dużą lipofilnością, zdolnością przenikania bariery krew–mózg oraz długim okresem półtrwania. Najprostszym opisem losów leku jest model […]