Twierdzenie Noether
Twierdzenie Emmy Noether (1918) jest jednym z najgłębszych i najbardziej fundamentalnych wyników współczesnej fizyki teoretycznej i matematyki.Łączy symetrie układu fizycznego z zachowaniem odpowiednich wielkości fizycznych. Treść twierdzenia Jeżeli działanie układu fizycznego pozostaje niezmiennicze względem pewnej ciągłej symetrii, to istnieje związana z tą symetrią wielkość zachowana. Formalizm Lagrange’a w Twierdzeniu Noether Podstawą formalizmu Lagrange’a jest zasada […]
Geometrie nieeuklidesowe
Wprowadzenie Geometrie nieeuklidesowe to takie układy geometryczne, które nie spełniają V postulatu Euklidesa: Przez punkt nieleżący na danej prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do tej prostej. W zależności od tego, jak modyfikuje się ten postulat, powstają dwa główne typy geometrii: Geometria sferyczna (eliptyczna): przez punkt nie przechodzi żadna prosta równoległa. Geometria hiperboliczna (Lobaczewskiego): […]
Rozmaitości Calabi-Yau
1. Rozmaitości Calabi–Yau Rozmaitości Calabi–Yau to wyjątkowy rodzaj obiektów geometrycznych, które odgrywają kluczową rolę zarówno w matematyce czystej, jak i w fizyce teoretycznej — szczególnie w teorii strun. Są to rozmaitości, które mają zerową krzywiznę Ricciego i posiadają struktury Kählera oraz holomorficzne formy objętościowe. 1.1 Formalna definicja Niech będzie zespoloną, zwartą i spójną rozmaitością Kählera […]
Odwzorowania ciągłe
Co to jest odwzorowanie w matematyce? W matematyce odwzorowaniem (lub funkcją) nazywamy regułę, która każdemu elementowi pewnego zbioru przyporządkowuje dokładnie jeden element innego zbioru. Formalnie: oznacza, że jest odwzorowaniem ze zbioru w zbiór . Każdemu elementowi przyporządkowany jest dokładnie jeden element . Zbiór nazywamy dziedziną funkcji , a zbiór – przeciwdziedziną (lub zbiorem wartości możliwych). […]
Elektromagnetyzm
1. Pola elektromagnetyczne Pole elektromagnetyczne opisujemy dwiema wektorowymi wielkościami: 1.1 Pole elektryczne: 1.2 Pole magnetyczne (indukcja magnetyczna): W próżni oba pola są wzajemnie sprzężone i opisane przez równania Maxwella. 2. Równania Maxwella Równania Maxwella to cztery fundamentalne równania opisujące związki między ładunkami, prądami i polami elektromagnetycznymi. Można je zapisać w dwóch postaciach: różniczkowej i całkowej. […]
Przestrzenie metryczne
Przestrzenie metryczne – teoria, przykłady i zastosowania 1. Wprowadzenie Pojęcie przestrzeni metrycznej stanowi jeden z filarów współczesnej matematyki.Pozwala zdefiniować pojęcia odległości, ciągłości i granicy w bardzo ogólnych warunkach.Z jego pomocą można badać nie tylko klasyczne przestrzenie geometryczne, lecz także przestrzenie funkcji, ciągów czy rozkładów prawdopodobieństwa. Intuicyjnie metryka mierzy „odległość” między elementami zbioru.Formalnie jest to funkcja […]
Hipoteza geometryzacyjna
Każda zwarta, orientowalna trójwymiarowa rozmaitość może zostać pocięta wzdłuż dysków i torusów na skończoną liczbę kawałków, z których każdy posiada jedną z ośmiu geometrii Thurstona. Dokładniejsza treść hipotezy Niech będzie zwartą, orientowalą rozmaitością 3-wymiarową. Istnieje skończony zbiór dysków i torusów, które tną na podrozmaitości w taki sposób, że każdy kawałek posiada geometrię Thurstona, czyli jedną […]
Hipoteza Riemanna
Dziś zajmiemy się jednym z nierozwiązanych Problemów Milenijnych, za które jest nagroda równa 1mln $. Zaczniemy od przedstawienia wzory na funkcję dzeta. A wygląda ona tak: Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu Ogólnie funkcję zeta Riemanna możemy zapisać w poniższy sposób: Dla mamy Z powyższego wyrażenia wyniki, […]
Rozmaitości różniczkowalne
Na początek chciałbym zaprosić Was do czytania i obserwowania bloga mojego przyjaciela. Tutaj link: http://datart.pl/. Znajdziecie na nim wpisy o tematyce programowania. Serdecznie zapraszam! Pierwszym przykładem rozmaitości różniczkowalnej będzie sfera. Niech dany będzie podzbiór w , gdzie Określimy teraz atlas na zbiorze z topologią indukowaną z przestrzeni . Rozważmy dwe przeciwległe bieguny sfery leżące na […]
Teoria chaosu: Fraktale część II
Dziś krótki artykuł z serii Teoria chaosu. Zajmiemy się dziś, tak jak poprzednio, fraktalami. Dziś powiemy o wymiarze Hausdorffa i Kołmogorowa oraz o możliwości oszacowania wymiaru Hausdorffa. Na początek o wymiarze samopodobnego atraktora systemu IFS w każde podobieństwo S o skali r jest postaci , gdzie oraz jest przekształceniem ortogonalnym w (jest reprezentowany przez macierz […]