Cykl Hamiltona

Witam ponownie! Dziś zajmiemy się cyklem Hamiltona. Jest to zagadnienie podobne do cyklu Eulera z ta różnicą, że tym razem musimy przejść raz nie przez wszystkie krawędzie, a przez wszystkie wierzchołki. Na poniższym obrazie, przykład drogi Hamiltona w grafie: Cykl Hamiltona wiedzie przez poniżej wypisane wierzchołki: A B H I Q P G F O […]

Cykl Eulera

Witam! Dziś zajmiemy się zagadnieniem z teorii grafów. Dokładnie powiem o grafach eulerowskich. Na początek kilka prostych definicji: graf- graf to zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków krawędź- linia łącząca wierzchołki cykl- to ścieżka zamknięta, z takim samym ostatnim i […]

Funkcje trygonometryczne i cała reszta…

Witam serdecznie! Dziś poczytacie o goniometrii, czyli dziale matematyki zajmujący się funkcjami trygonometrycznymi. Wyjdziemy jednak dziś poza zakres szkoły średniej i dowiemy się czym są funkce cyklometryczne, hiperboliczne itd Zaczniemy od tych nam znanych, czyli funkcji trygonometrycznych. Okazuje się, że jest wiele sposobów na przedstawienie funkcji trygonometrycznych. Ja wybrałem dwa. Jedno z nich to Definicja […]

Konstrukcje liczb

Dziś dowiemy się o tym czym są liczby zespolone, kwaterniony, oktoniony i sedoniony. Zaczniemy od konstrukcji liczb zespolonych. A więc: liczba zespolona to liczba będąca elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną Wyglądają one tak: , gdzie i są liczbami rzeczywistymi a . Liczby zespolone są jedynym skończeniewymiarowym przemiennym ciałem obejmującym liczby rzeczywiste, różnym […]

Teoria grup: część I

Teoria grup to dział matematyki, który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami. Teoria grup ma wiele zastosowań: m.in.: kryptografia, krystalografia, genetyka czy też muzyka. Dziś omówimy podstawowe pojęcia tj. grupa, półgrupa, monoid. Podam też kilka przykładów grup. Zaczniemy od definicji grupy: Grupa to zbiór wyróżniony łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym […]

Homeomorfizmy

Dziś zajmiemy się homeomorfizmami. Nazwa straszna, ale intuicyjna. Zanim przejdziemy do sedna, przypomnę co oznaczają pojęcia tj. ciągłość, funkcja odwrotna oraz bijekcja. Zaczniemy od ciągłości: Funkcją ciągłą (rzeczywistą) (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale) nazywamy taką funkcję, której wykresem jest ciągła linia tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru. Bardziej formalnie oznacza to, że […]

Krzywe eliptyczne

Krzywą eliptyczną będziemy nazywać gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem O, zwanym “punktem w nieskończoności”. Straszne, prawda? To może prościej: Krzywą eliptyczną reprezentuje równanie algebraiczne postaci: A wcześniej wspominany punkt w nieskończoności to “górny koniec osi . A genusem nazywać będziemy liczbę otworów w rozmaitości. […]

Hipoteza continuum

Dziś o hipotezie continuum. Zanim do niej przejdziemy kilka pojęć wprowadzających. moc zbioru – to uogólnienie pojęcia liczebności zbioru. Np. mocą zbioru skończonego jest liczba jego elementów. Można pojęcie mocy zbioru rozszerzyć na zbiory nieskończone. zbiór przeliczalny – to zbiór skończony lub zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Co to oznacza? A to, że istnieje […]

Przestrzenie liniowo-topologiczne, funkcyjne, Banacha.

W dzisiejszym artykule przedstawię definicje i przykłady przestrzeni liniowo-topologicznych, przestrzeni funkcyjnych oraz przestrzeni Banacha. Wymagane pojęcia: zbiór otwarty, topologia, ciągłość Wiemy już z artykułu https://www.farharod.info/science/matematyka/przestrzenie-liniowe/ czym jest przestrzeń liniowa. Teraz przejdziemy do tego czym jest przestrzeń topologiczna. Jest nią pewien zbiór w którym określono – w sposób dowolny – zbiór jego zbiorów otwartych, spełniających jedynie […]

Przestrzenie unormowane i zupełne

Ten wpis jest kontynuacją artykułu o przestrzeniach. Tutaj poprzedni artykuł: https://www.farharod.info/science/matematyka/przestrzenie-liniowe/ Wymagane pojęcia: metryka, ciąg, ciąg Cauchy’ego, zbieżność, granica Na początek o przestrzeniach zupełnych: Są nimi przestrzenie liniowe, w których określono normę. Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Odwzorowanie które spełnia dla każdego przestrzeni i skalarów z ciała , […]