Czarne dziury

Witam,
w dzisiejszym artykule poruszymy problem czarnych dziur. Dokładnie powiemy o czarnej dziurze Schwarzschilda
Na początek czym jest czarna dziura? Czarna dziura to obszar czasoprzestrzeni, którego z uwagi na wpływ grawitacji, nic (łącznie ze światłem) nie może opuścić.

Najprościej można mówić o czarnej dziurze powstałej w wyniku zapadania grawitacyjnego, gwiazdy odpowiednich obszarów.

Zaczynamy!
Aby przestawić istotę grawitacyjnego zapadania rozważymy przypadek, gdy ciało się zapada i czasoprzestrzeń je otaczająca jest sferycznie symetryczna.
Zacznę od twierdzenia ogólnej teorii względności: jeśli rozkład masy jest zależny od czasu, to czasoprzestrzeń na zewnątrz sferycznego, zapadającego się ciała ma niezależna od czasu geometrię Schwarzschilda.

Teraz troche o geometrii Schwarzschilda: element liniowy czasoprzestrzeni Schwarzschilda ma postać:

$\displaystyle{ds^2=-(1-\frac{2GM}{c^2 r})(cdt)^2+(1-\frac{2GM}{c^2 r}^{-1} dr^2+r^2 (d\theta^2+sin^2 \theta d \phi^2)}$

Metryka Schwarzschilda ma kilka ważnych własności:
1. niezależność od czasu
2. symetria sferyczna – dwuwymiarowa powierzchnia stałego czasu $t$ i stałej współrzędnej $r$ w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma element liniowy:
$\displaystyle{d\sigma^2=r^2(d\theta^2+sin^2 \theta d \phi^2)}$
3. masa M. Jeśli $\frac{GM}{c^2 e} \ll 1$ to współczynnik stojący przy wyrazie $dr^2$ w elemencie liniowym można rozwinąć w szereg i zachować tylko najniższy wyraz. Element liniowy przybiera wtedy postać:

$ds^2 \approx -(1-\frac{2GM}{c^2 r})(cdt)^2+(1+\frac{2GM}{c^2 r} dr^2+r^2 (d\theta^2+sin^2 \theta d \phi^2)$

dokładnie taką jaką element liniowy opisujący słabe pole grawitacyjne.

4. Promień Schwarzschilda – przyjmuje wartość $r=\frac{2GM}{c^2}$

Osobliwość metryki Schwarzschilda jest tylko osobliwością wybranego układu współrzędnych, nie zaś samej czasoprzestrzeni. Musimy tylko znaleźć układ współrzędnych w którym metryka ta staje się regularna. Pomogą nam w tym współrzędne Eddingtona-Finkelsteina.
W celu ich wprowadzenie zaczynamy od współrzędnych Schwarzschilda $(t,r,\theta,\phi)$ w których metryka ma postać:
$\displaystyle{\begin{pmatrix} -1-(\frac{2M}{r}) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-\frac{2M}{r}^{-1}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 &r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2sin^2\theta \\ \end{pmatrix}}$

a potem zastępujemy współrzędną czasową $t$ nową współrzędną $v$ , zdefiniowaną wzorem:

$\displaystyle{t=v-r-2M log|\frac{r}{2M}-1|}$

Jeśli zastąpimy $t$ $v$ otrzymamy taki wynik:

$ds^2=-(1-\frac{2M}{r}) dv^2+2dvdr+r^2 (d \theta^2+sin^2 \theta d \phi^2$

Jest to sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń Schwarzschilda wyposażona w inny układ współrzędnych.

Gdy porównamy sytuację dla $r=2M$ i $r=0$ okazuje się, że metryka ma osobliwość w współrzędnych Schwarzschilda jak i Eddingtona-Finkelsteina.
Okazuje się, że dla $r=0$ czasoprzestrzeń ma nieskończoną krzywiznę a zatem istnieją tam nieskończone siły grawitacyjne.

Stożki świetlne:
Kluczem do zrozumienia czarnej dziury jest analiza radialnie rozchodzących sie sygnałów świetlnych.
Sygnały te rozchodzą się wzdłuż linii $d\theta=d\varphi=0$ (linia radialna) i $ds^2=0$ (linia zerowa).

Z równania: $ds^2=-(1-\frac{2M}{r)} dv^2+2dvdr+r^2 (d \theta^2+sin^2 \theta d \phi^2$ wynika, że są to linie:
$-(1-\frac{2M}{r}) dv^2+2dvdr=0$ z czego wynika że niektóre sygnały świetlne biegną po krzywych: $v=cons$ (nadlatujące sygnały świetlne)

Z równania: $\displaystyle{t=v-r-2M log|\frac{r}{2M}-1|}$ wynika, że są to nadlatujące sygnały świetlne, ponieważ gdy $t$ rośnie $r$ musi maleć, aby $v$ mogło mieć stałą wartość.

Równanie $-(1-\frac{2M}{r}) dv^2+2dvdr=0$ jesrt spełnione gdy: $-(1-\frac{2M}{r})dv+2dr=0$

Takie sygnały biegną po krzywej:

$\displaystyle{v-2(r+2M log|\frac{r}{2M}-1|)=const}$

Podczas gdy sygnał znajduje się daleko od czarnej dziury, oddala się w nieskończoność ponieważ, jak wynika z powyższych równań: $t=r=const$ .
Jednak gdy r<2M rozwiązanie opisuje zbiegające się promienie świetlne ponieważ gdy v rośnie to r maleje.

Zapewne często słyszeliście, że czarna dziura wciąga wszystko w swpim otoczeniu. W rzeczywistości sferycznie symetryczna czarna dziura o masie M wcale nie przyciąga cząstek silniej niż sferycznie symetryczna gwiazda o takiej masie. Czasoprzestrzeń w otoczeniu czarnej dziury jest taka sama jak przy otoczeniu gwiazdy a więc jest czasoprzestrzenią Schwarzschilda.

Na dziś tyle, ale temat nie został wyczerpany. W najbliższych dniach kontynuacja.

One thought on “Czarne dziury”

SS pisze:

5 grudnia 2021 o 10:48

Ciekawe to wszystko. Powodzenia w dalszej pracy i zabawie jednocześnie. Widać nieuzbrojonym okiem pasję Autora bloga

Odpowiedz

Skomentuj SS Anuluj pisanie odpowiedzi

Filed under: astrofizyka,czarne dziury - @ 30 listopada 2017 18:50

Tagi: czarna dziura, czasoprzestrzeń, metryka, metryka Schwarzschilda, stożek świeltny