1. Pola elektromagnetyczne

Pole elektromagnetyczne opisujemy dwiema wektorowymi wielkościami:

1.1 Pole elektryczne:
$\vec{E}(\vec{r}, t)$

1.2 Pole magnetyczne (indukcja magnetyczna):
$\vec{B}(\vec{r}, t)$

W próżni oba pola są wzajemnie sprzężone i opisane przez równania Maxwella.

2. Równania Maxwella

Równania Maxwella to cztery fundamentalne równania opisujące związki między ładunkami, prądami i polami elektromagnetycznymi. Można je zapisać w dwóch postaciach: różniczkowej i całkowej.

2.1 Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

Forma różniczkowa:
$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Forma całkowa:
$\oint_{\partial V} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho , dV$

Znaczenie fizyczne:
Strumień pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest proporcjonalny do całkowitego ładunku elektrycznego wewnątrz tej powierzchni.

2.2 Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Forma różniczkowa:
$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

Forma całkowa:
$\oint_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$

Znaczenie fizyczne:
Nie istnieją monopole magnetyczne – linie pola magnetycznego są zawsze zamknięte.

2.3 Prawo Faradaya (indukcji elektromagnetycznej)

Forma różniczkowa:
$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

Forma całkowa:
$\oint_{\partial S} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$

Znaczenie fizyczne:
Zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje wirujące pole elektryczne.

2.4 Prawo Ampera–Maxwella

Forma różniczkowa:
$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Forma całkowa:
$\oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}$

Znaczenie fizyczne:
Pole magnetyczne jest wytwarzane zarówno przez prąd elektryczny $\vec{J}$ , jak i przez zmienne w czasie pole elektryczne (tzw. prąd przesunięcia Maxwella).

3. Wyprowadzenie równań Maxwella — forma całkowa i różniczkowa

Równania Maxwella można wyprowadzić z podstawowych praw empirycznych elektromagnetyzmu:

prawa Coulomba,
prawa indukcji Faradaya,
prawa Ampera,
oraz zasady zachowania ładunku elektrycznego.

Poniżej przedstawiono pełne matematyczne przejście od postaci całkowej do różniczkowej dla każdego z czterech równań.

3.1 Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

3.1.1 Postać całkowa

Eksperymentalnie wiadomo, że strumień pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię $\partial V$ jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego znajdującego się wewnątrz tej powierzchni:

$\oint_{\partial V} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho , dV$

Lewa strona to strumień pola elektrycznego przez powierzchnię, prawa to ładunek $Q = \int_V \rho , dV$ wewnątrz objętości $V$ .

3.1.2 Przejście do formy różniczkowej

Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego:

$\oint_{\partial V} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{E}) , dV$

Porównując obie strony dla dowolnej objętości $V$ , otrzymujemy równanie lokalne:

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

To jest różniczkowa postać prawa Gaussa.

3.2 Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

3.2.1 Postać całkowa

Doświadczenie pokazuje, że nie istnieją monopole magnetyczne — całkowity strumień pola magnetycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię wynosi zero:

$\oint_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$

3.2.2 Przejście do formy różniczkowej

Znowu korzystamy z twierdzenia Gaussa:

$\oint_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{B}) , dV$

Dla dowolnej objętości $V$ całka ta może być równa zeru tylko wtedy, gdy podcałkowa funkcja jest wszędzie równa zero:

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

3.3 Prawo Faradaya (indukcji elektromagnetycznej)

3.3.1 Postać całkowa

Doświadczenie Faradaya mówi, że zmiana strumienia pola magnetycznego przez powierzchnię $S$ powoduje powstanie siły elektromotorycznej (SEM) wzdłuż jej brzegu $\partial S$ :

$\oint_{\partial S} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$

3.3.2 Przejście do formy różniczkowej

Zastosujmy twierdzenie Stokesa:

$\oint_{\partial S} \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_S (\nabla \times \vec{E}) \cdot d\vec{S}$

Otrzymujemy:

$\int_S (\nabla \times \vec{E}) \cdot d\vec{S} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$

Dla dowolnej powierzchni $S$ wynika stąd równanie lokalne:

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

3.4. Prawo Ampera–Maxwella

3.4.1. Postać całkowa (z poprawką Maxwella)

Eksperymentalnie wiadomo, że obieg pola magnetycznego wokół zamkniętej krzywej jest proporcjonalny do natężenia prądu przepływającego przez powierzchnię ograniczoną tą krzywą.
Maxwell dodał do tego tzw. prąd przesunięcia $\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ :

$\oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}$

3.4.2 Przejście do formy różniczkowej

Z twierdzenia Stokesa:

$\oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_S (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{S}$

Podstawiamy do równania:

$\int_S (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{S} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$

Dla dowolnej powierzchni $S$ otrzymujemy równanie lokalne:

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

4. Równania Maxwella w ośrodku materialnym

W ośrodkach materialnych definiujemy pola pomocnicze:

$\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$
$\vec{H} = \frac{1}{\mu_0}\vec{B} - \vec{M}$

Wtedy równania Maxwella przyjmują postać:

$\begin{cases}\nabla \cdot \vec{D} = \rho_f \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{H} = \vec{J}_f + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}\end{cases}$

gdzie:

$\rho_f$ — gęstość ładunku swobodnego,

$\vec{J}_f$ — gęstość prądu swobodnego,

$\vec{P}$ — polaryzacja ośrodka,

$\vec{M}$ — magnetyzacja ośrodka.

5. Równania falowe elektromagnetyzmu w próżni

5.1. Założenia

Rozpatrzmy przestrzeń próżniową, czyli bez ładunków i prądów:

$\rho = 0, \quad \vec{J} = 0$

W próżni równania Maxwella przyjmują postać:

$\begin{cases}\nabla \cdot \vec{E} = 0 \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\end{cases}$

Naszym celem jest uzyskanie równań falowych opisujących rozchodzenie się pól $\vec{E}$ i $\vec{B}$ w przestrzeni i czasie.

5.2 Wyprowadzenie równania falowego dla pola elektrycznego

Zacznijmy od równania Faradaya:

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

Weźmy operator rotacji z obu stron:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

Ponieważ różniczkowanie po czasie i położeniu można zamieniać miejscami:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{B})$

Teraz skorzystajmy z równania Ampera–Maxwella (w próżni):

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Podstawiamy:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$

Z tożsamości wektorowej dla podwójnej rotacji:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}$

Ale w próżni $\nabla \cdot \vec{E} = 0$ , więc:

$-\nabla^2 \vec{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$

Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe dla pola elektrycznego:

$\nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$

lub w standardowej postaci:

$\nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$

gdzie:

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

to prędkość światła w próżni.

5.3 Wyprowadzenie równania falowego dla pola magnetycznego

Podobnie postępujemy z równaniem Ampera–Maxwella:

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Weźmy operator rotacji z obu stron:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{B}) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{E})$

Podstawiamy z równania Faradaya ( $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ ):

$\nabla \times (\nabla \times \vec{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

Z tożsamości wektorowej:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{B}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2 \vec{B}$

W próżni $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ , więc:

$-\nabla^2 \vec{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

Ostatecznie:

$\nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

czyli:

$\nabla^2 \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$

5.4 Interpretacja fizyczna

Otrzymaliśmy dwa identyczne równania falowe dla $\vec{E}$ i $\vec{B}$ :

$\begin{cases}\nabla^2 \vec{E} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0 \\ \nabla^2 \vec{B} -\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0 \end{cases}$

Są to klasyczne równania falowe opisujące rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w próżni z prędkością:

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 , \text{m/s}$

5.5 Związek między polami $\vec{E}$ i $\vec{B}$ w fali elektromagnetycznej

Z równań Maxwella wynika, że pola $\vec{E}$ i $\vec{B}$ są:

wzajemnie prostopadłe:
$\vec{E} \perp \vec{B}$
prostopadłe do kierunku propagacji $\vec{k}$ :
$\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k}$
oraz zsynchronizowane w fazie, tzn. osiągają maksima w tych samych punktach czasu i przestrzeni.

Dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku $z$ można zapisać:

$\vec{E}(z,t) = E_0 \hat{x} \cos(kz - \omega t)$

$\vec{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \hat{y} \cos(kz - \omega t)$

Związek między amplitudami:

$B_0 = \frac{E_0}{c}$

5.6 Energia i strumień energii fali

Gęstość energii fali elektromagnetycznej:

$u = \frac{1}{2} \left( \varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right)$

Wektor Poyntinga (strumień energii):

$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}$

Średni strumień energii (dla fali harmonicznej):

Oznacza to, że energia przenoszona przez falę elektromagnetyczną jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy pola elektrycznego.

5.7 Postać falowa równania i związek z równaniem d’Alemberta

Równanie falowe w ogólnej postaci (dla dowolnej składowej pola):

$\nabla^2 f(\vec{r},t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 f(\vec{r},t)}{\partial t^2} = 0$

jest tzw. równaniem d’Alemberta.
Jego rozwiązania to funkcje typu:

$f(\vec{r},t) = f_1(\vec{r} - c t) + f_2(\vec{r} + c t)$

czyli fale biegnące w przeciwnych kierunkach z prędkością $c$ .

5.8. Wniosek końcowy

Z równań Maxwella w próżni wynika bezpośrednio, że:

Światło jest falą elektromagnetyczną — to znaczy, że zmienne w czasie pole elektryczne i magnetyczne rozchodzą się w przestrzeni jako fala poprzeczna z prędkością $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ .

6. Relatywistyczna forma równań Maxwella

6.1. Wprowadzenie: jedność przestrzeni i czasu

Klasyczna elektrodynamika w ujęciu Maxwella łączy pola elektryczne i magnetyczne w jeden układ równań.
W teorii względności Einsteina przestrzeń i czas są traktowane jako elementy czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego.

Współrzędne w tej przestrzeni zapisujemy jako czterowektor położenia:

$x^\mu = (ct, x, y, z)$

Indeksy $\mu, \nu, \alpha, \beta$ przyjmują wartości $0,1,2,3$ , gdzie:

$x^0 = ct$ – współrzędna czasowa,
$x^1 = x$ , $x^2 = y$ , $x^3 = z$ – współrzędne przestrzenne.

W układzie SI używamy metryki Minkowskiego o sygnaturze:

$g_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1)$

6.2. Czteroprąd i czteropotencjał

6.2.1 Czteropotencjał elektromagnetyczny

Pola $\vec{E}$ i $\vec{B}$ można wyrazić przez czteropotencjał $A^\mu$ :

$A^\mu = \left( \frac{\varphi}{c}, , \vec{A} \right)$

gdzie:

$\varphi$ – potencjał elektryczny,
$\vec{A}$ – wektorowy potencjał magnetyczny.

Z definicji pól:

$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}, \qquad \vec{E} = -\nabla \varphi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

6.2.2 Czteroprąd

Prądy i ładunki tworzą również czterowymiarowy wektor:

$J^\mu = (\rho c, \vec{J})$

gdzie $\rho$ to gęstość ładunku, a $\vec{J}$ to gęstość prądu elektrycznego.

6.3. Tensor pola elektromagnetycznego

Pola $\vec{E}$ i $\vec{B}$ łączą się w antysymetryczny tensor pola elektromagnetycznego $F^{\mu\nu}$ :

$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$

Tensor ten można zapisać w postaci pochodnych czteropotencjału:

$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$

gdzie $\partial^\mu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla\right)$ .

6.4. Równania Maxwella w zapisie tensorowym

Równania Maxwella można zapisać w dwóch grupach (pierwsze z prądami, drugie bez):

6.4.1 Równania niejednorodne (z prądem)

$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$

Rozwinięte po współrzędnych dają dwa równania klasyczne:

$\begin{cases} \nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla \times \vec{B} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \mu_0 \vec{J} \end{cases}$

6.4.2 Równania jednorodne (bez prądów)

$\partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0$

Są one matematycznym zapisem dwóch pozostałych równań Maxwella:

$\begin{cases} \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E} + \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0 \end{cases}$

6.5. Równanie zachowania ładunku

Z warunku antysymetrii $F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}$ wynika:

$\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0$

Stosując to do równania Maxwella $\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$ , otrzymujemy:

$\partial_\nu J^\nu = 0$

co odpowiada równaniu ciągłości ładunku w postaci relatywistycznej.

W formie klasycznej:

$\nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$

6.6. Siła Lorentza w zapisie tensorowym

Ruch cząstki naładowanej (o ładunku $q$ i czteroprędkości $u_\mu$ ) w polu elektromagnetycznym opisuje równanie:

$\frac{dp^\mu}{d\tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu$

gdzie:

$p^\mu = m u^\mu$ — czteropęd cząstki,
$\tau$ — czas własny cząstki.

W formie klasycznej (trójwymiarowej) to równanie odpowiada dobrze znanej sile Lorentza:

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

6.7. Postać falowa w zapisie czterowymiarowym (w próżni)

W próżni ( $J^\mu = 0$ ) równania Maxwella redukują się do:

$\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0$

Ponieważ $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ , otrzymujemy:

$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu (\partial_\mu A^\mu) = 0$

Wybierając warunek cechowania Lorentza:

$\partial_\mu A^\mu = 0$

równanie upraszcza się do postaci falowej:

$\Box A^\nu = 0$

gdzie operator d’Alemberta:

$\Box = \partial_\mu \partial^\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$

Oznacza to, że wszystkie składowe czteropotencjału $A^\nu$ spełniają równanie falowe w próżni.

6.8. Niezmienniczość relatywistyczna

Równania tensorowe Maxwella:

$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu, \qquad \partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0$

mają identyczną postać w każdym inercjalnym układzie odniesienia.
Jest to przejaw kowariancji Lorentza, czyli niezmienniczości równań fizycznych względem transformacji Lorentza:

$x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu, \qquad F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} F^{\alpha\beta}$

W efekcie transformacja pola elektrycznego i magnetycznego między układami nie jest niezależna – $\vec{E}$ i $\vec{B}$ przechodzą jeden w drugi w zależności od prędkości obserwatora.

6.9. Transformacje pól $\vec{E}$ i $\vec{B}$

Dla transformacji Lorentza wzdłuż osi $x$ z prędkością $v$ :

$\begin{cases} E_x' = E_x \ E_y' = \gamma (E_y - v B_z) \\ E_z' = \gamma (E_z + v B_y) \end {cases} \qquad \\ \begin{cases} B_x' = B_x \ B_y' = \gamma \left(B_y + \frac{v}{c^2} E_z\right) \\ B_z' = \gamma \left(B_z - \frac{v}{c^2} E_y\right) \end{cases}$

gdzie $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ .

Te równania pokazują, że pole magnetyczne w jednym układzie może być postrzegane jako część pola elektrycznego w innym, co uzasadnia traktowanie obu jako jednego obiektu — tensora $F^{\mu\nu}$ .

6.10. Energia i pęd pola elektromagnetycznego w zapisie tensorowym

Energia i pęd pola EM są zawarte w tensorze energii-pędu:

$T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}\left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right)$

Z niego wynikają równania zachowania:

$\partial_\mu T^{\mu\nu} = -F^{\nu\alpha} J_\alpha$

co odpowiada zasadzie zachowania energii i pędu elektromagnetycznego (równanie Poyntinga w wersji relatywistycznej).

7. Zasada zachowania ładunku elektrycznego

7.1. Wprowadzenie fizyczne

Zasada zachowania ładunku elektrycznego jest jednym z najbardziej fundamentalnych praw fizyki.
Mówi ona, że całkowity ładunek elektryczny w układzie izolowanym pozostaje stały w czasie — ładunek nie może powstać ani zniknąć, może jedynie przepływać z jednego miejsca do drugiego.

Formalnie:

$\frac{dQ_{\text{calk}}}{dt} = 0$

gdzie $Q_{\text{calk}}$ oznacza całkowity ładunek w zadanej objętości, o ile przez jej granice nie przepływa prąd.

7.2. Postać całkowa zasady zachowania ładunku

Całkujemy równanie ciągłości po objętości $V$ :

$\int_V \left( \nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) dV = 0$

Stosując twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego:

$\oint_{\partial V} \vec{J} \cdot d\vec{S} + \frac{d}{dt} \int_V \rho , dV = 0$

Definiujemy:

$Q = \int_V \rho , dV$ — całkowity ładunek w objętości $V$ ,
$I_{\text{wyplyw}} = \oint_{\partial V} \vec{J} \cdot d\vec{S}$ — całkowity prąd wypływający przez powierzchnię $\partial V$ .

Wtedy:

$\frac{dQ}{dt} = - I_{\text{wyplyw}}$

Interpretacja:

Jeśli przez powierzchnię wypływa prąd, to ilość ładunku wewnątrz maleje o dokładnie tę samą wartość.

7.3. Związek z prawem Ampera–Maxwella

Wprowadzenie przez Maxwella prądu przesunięcia ( $\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ ) do równania Ampera było konieczne, aby równanie ciągłości było spełnione zawsze.

Bez tego członu równanie:

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$

po wzięciu dywergencji dawałoby sprzeczność ( $\nabla \cdot \vec{J} = 0$ ),
czyli brak możliwości zmiany gęstości ładunku w czasie.
Dodanie prądu przesunięcia przywraca zgodność z zasadą zachowania ładunku.

7.4. Postać relatywistyczna (kowariantna)

W ujęciu relatywistycznym zasada zachowania ładunku wyraża się elegancko w postaci czterowymiarowej:

$\partial_\mu J^\mu = 0$

gdzie:

$J^\mu = (\rho c, \vec{J})$ – czteroprąd,
$\partial_\mu = \left( \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)$ – czterogradient.

To jest równanie ciągłości relatywistyczne, które zachowuje swoją postać w każdym układzie inercjalnym (kowariantność Lorentza).

W klasycznej granicy (dla małych prędkości $v \ll c$ ) redukuje się ono do:

$\nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$

7.5. Całkowity ładunek jako niezmiennik

Z relatywistycznego równania ciągłości wynika, że całkowity ładunek układu:

$Q = \int_V \rho , dV$

jest niezmiennikiem Lorentza – ma tę samą wartość w każdym układzie odniesienia (choć gęstość $\rho$ i objętość $V$ transformują się wzajemnie).

Formalnie:

$\frac{dQ}{dt} = - \oint_{\partial V} \vec{J} \cdot d\vec{S}$

W układzie zamkniętym ( $\vec{J} \cdot d\vec{S} = 0$ na granicy),
otrzymujemy:

$\frac{dQ}{dt} = 0$

czyli ładunek całkowity jest stały w czasie.

7.6. Interpretacja geometryczna

Zasada zachowania ładunku ma piękną interpretację geometryczną:
czteroprąd $J^\mu$ tworzy w czasoprzestrzeni ciągły strumień – analogiczny do pola prędkości w hydrodynamice.

Równanie $\partial_\mu J^\mu = 0$ oznacza, że ten strumień nie ma źródeł ani zaników – czyli nie ma tworzenia ani zanikania ładunku, tylko jego przepływ.

7.7. Przykład praktyczny: rozładowujący się kondensator

Rozważmy kondensator o płytkach z ładunkami $\pm Q(t)$ .
W czasie rozładowania ładunek zmniejsza się:

$\frac{dQ}{dt} = -I$

gdzie $I$ to natężenie prądu przepływającego przez obwód.
Zgodnie z zasadą zachowania ładunku — ładunek nie znika:
zmniejszenie ładunku na płytce dodatniej dokładnie odpowiada wzrostowi ładunku na płytce ujemnej.

7.8 Wniosek końcowy

Zasada zachowania ładunku jest bezpośrednim skutkiem równań Maxwella i ich wewnętrznej spójności.
Jej lokalna postać:

$\nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$

gwarantuje, że ładunek może jedynie przepływać, a nie powstawać lub znikać.
W ujęciu relatywistycznym:

$\partial_\mu J^\mu = 0$

stanowi jedno z najbardziej eleganckich i uniwersalnych praw zachowania w fizyce.

8. Energia i pęd pola elektromagnetycznego

8.1. Wprowadzenie

Pole elektromagnetyczne, podobnie jak materia, przenosi energię, pęd i moment pędu.
Zmienne pola $\vec{E}$ i $\vec{B}$ mogą wykonywać pracę, magazynować energię i przekazywać ją między różnymi punktami przestrzeni.

Aby to opisać ilościowo, wyprowadzimy równanie zachowania energii pola elektromagnetycznego, znane jako równanie Poyntinga.

8.2. Siła i praca pola elektromagnetycznego

Pole elektromagnetyczne oddziałuje na cząstki o ładunku $q$ zgodnie z siłą Lorentza:

$\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

Dla układu o gęstości ładunku $\rho$ i gęstości prądu $\vec{J}$ , siła działająca na jednostkę objętości (tzw. gęstość siły) wynosi:

$\vec{f} = \rho \vec{E} + \vec{J} \times \vec{B}$

Moc, czyli tempo pracy wykonywanej przez pole na ładunkach w jednostce objętości, to:

$\frac{dW}{dt} = \vec{f} \cdot \vec{v}$

Ponieważ $\vec{J} = \rho \vec{v}$ , mamy:

$\frac{dW}{dt} = \vec{J} \cdot \vec{E}$

To wyrażenie pokazuje, że pole elektryczne wykonuje pracę na ładunkach poruszających się z prędkością $\vec{v}$ .

8.3. Równanie Poyntinga — wyprowadzenie

Rozpoczynamy od dwóch równań Maxwella w próżni:

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \qquad \text{i} \qquad \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Weźmy iloczyn skalarny pierwszego równania z $\vec{B}/\mu_0$ i drugiego z $\vec{E}$ , a następnie odejmijmy obie zależności.

8.3.1 Krok 1: pomnóż drugie równanie przez $\vec{E}$ :

$\vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{B}) = \mu_0 \vec{E} \cdot \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

8.3.2 Krok 2: pomnóż pierwsze równanie przez $\vec{B}/\mu_0$ :

$\frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{E}) = -\frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

8.3.3 Krok 3: odejmij równania stronami:

$\vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{B}) - \frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{E}) = \mu_0 \vec{E} \cdot \vec{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

8.3.4 Krok 4: zastosuj tożsamość wektorową

Z tożsamości:

$\nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{E}) - \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{B})$

zmieniamy lewą stronę równania:

$-\nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) = \mu_0 \vec{E} \cdot \vec{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

8.3.5 Krok 5: przekształć wyrazy pochodne

Wprowadźmy gęstość energii pola elektromagnetycznego:

$u = \frac{1}{2} \left( \varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right)$

Wtedy jej pochodna po czasie:

$\frac{\partial u}{\partial t} = \varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

Podstawiamy do równania:

$-\nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) = \mu_0 \vec{E} \cdot \vec{J} + \mu_0 \frac{\partial u}{\partial t}$

Dzielimy przez $\mu_0$ :

$-\frac{1}{\mu_0} \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) = \vec{E} \cdot \vec{J} + \frac{\partial u}{\partial t}$

8.3.6 Krok 6: równanie Poyntinga

Po przekształceniu otrzymujemy:

$\nabla \cdot \vec{S} + \frac{\partial u}{\partial t} = - \vec{E} \cdot \vec{J}$

gdzie:

$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}$ — wektor Poyntinga (strumień energii pola),
$u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right)$ — gęstość energii pola.

8.4. Interpretacja równania Poyntinga

Każdy składnik równania ma jasne znaczenie fizyczne:

$\nabla \cdot \vec{S} ;+; \frac{\partial u}{\partial t} ;=; -,\vec{J} \cdot \vec{E}$

$\vec{S}$ — strumień energii przenoszony przez pole elektromagnetyczne,
$\frac{\partial u}{\partial t}$ — tempo zmiany energii zgromadzonej w polu,
$-\vec{J} \cdot \vec{E}$ — praca wykonywana przez pole na ładunkach (energia oddawana materii).

Wersja całkowa:

$\oint_{\partial V} \vec{S} \cdot d\vec{S} + \frac{d}{dt} \int_V u , dV = - \int_V \vec{J} \cdot \vec{E} , dV$

Interpretacja:

Tempo ubytku energii w objętości $V$ + strumień energii przez powierzchnię = praca wykonana przez pole na ładunkach wewnątrz $V$ .

8.5. Wektor Poyntinga

Wektor $\vec{S}$ określa:

kierunek przepływu energii (zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali EM),
gęstość strumienia energii (moc na jednostkę powierzchni).

Dla fal płaskich w próżni:

$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}$

Zależność między polami:
$\vec{B} = \frac{1}{c} \hat{k} \times \vec{E}$
daje:

$|\vec{S}| = c \varepsilon_0 E^2$

8.6. Średni strumień energii (dla fali harmonicznej)

Jeśli pole zmienia się harmonicznie w czasie:

$\vec{E}(t) = E_0 \cos(\omega t) , \hat{e}$

to średnia wartość gęstości energii i strumienia wynosi:

$\langle u \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$

$\langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2 , \hat{k}$

czyli energia pola rozchodzi się z prędkością światła $c$ w kierunku wektora falowego $\hat{k}$ .

8.7. Pęd pola elektromagnetycznego

Ponieważ energia i pęd są powiązane relacją relatywistyczną, pole elektromagnetyczne przenosi również pęd.

Gęstość pędu pola $\vec{g}$ związana jest z wektorem Poyntinga:

$\vec{g} = \frac{\vec{S}}{c^2} = \varepsilon_0 , \vec{E} \times \vec{B}$

Całkowity pęd pola w objętości $V$ :

$\vec{P}_{\text{pole}} = \int_V \vec{g} , dV = \varepsilon_0 \int_V (\vec{E} \times \vec{B}) , dV$

Pole elektromagnetyczne może więc wywierać siłę (np. ciśnienie promieniowania) na obiekty materialne.

8.8. Tensor energii–pędu pola elektromagnetycznego

W formalizmie relatywistycznym energia i pęd tworzą tensor drugiego rzędu:

$T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right)$

gdzie $F^{\mu\nu}$ to tensor pola elektromagnetycznego.

Równania zachowania energii i pędu przyjmują postać:

$\partial_\mu T^{\mu\nu} = - F^{\nu\alpha} J_\alpha$

co oznacza, że zmiana energii–pędu pola jest równa sile działającej na ładunki (oddziaływaniu pola z materią).

8.9. Ciśnienie promieniowania

Gdy fala elektromagnetyczna pada na powierzchnię, przenosi pęd i wywiera ciśnienie promieniowania:

dla odbicia całkowitego:
$P = \frac{2 \langle S \rangle}{c}$
dla pochłaniania całkowitego:
$P = \frac{\langle S \rangle}{c}$

To zjawisko jest obserwowalne w praktyce — np. w żaglach słonecznych, gdzie ciśnienie światła wywołuje realny ruch sond kosmicznych.

9. Przykłady zastosowań równań Maxwella

Równania Maxwella nie tylko opisują teoretyczne właściwości pól elektromagnetycznych — stanowią matematyczne podstawy niemal całej współczesnej elektrotechniki, optyki i telekomunikacji.
Poniżej przedstawiono kilka kluczowych przykładów zastosowań, od fal radiowych po mikroskopię i inżynierię kwantową.

9.1. Fale elektromagnetyczne (światło, radio, mikrofale)

Z połączenia równań Maxwella wynika równanie falowe:

$\nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$

$\nabla^2 \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$

To pokazuje, że światło, fale radiowe i mikrofale są falami elektromagnetycznymi, rozchodzącymi się z prędkością:

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 , \text{m/s}$

Zastosowania:

transmisja radiowa, telewizyjna i satelitarna,
sieci Wi-Fi, 5G, radar, GPS,
optyka klasyczna i światłowody,
mikrofale w kuchenkach mikrofalowych i systemach komunikacji radarowej.

9.2. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

Z równania Faradaya:

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

wynika, że zmienne pole magnetyczne generuje wirujące pole elektryczne.
To właśnie zjawisko indukcji elektromagnetycznej, odkryte przez Faradaya w 1831 r.

Zastosowania:

generatory prądu (np. w elektrowniach wodnych, wiatrowych, jądrowych),
transformatory i cewki indukcyjne,
ładowanie bezprzewodowe,
zjawisko samoindukcji i indukcji wzajemnej w obwodach elektrycznych.

Przykład:

Zmiana strumienia magnetycznego $\Phi_B$ przez cewkę indukuje SEM:

$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$

9.3. Fale elektromagnetyczne w ośrodkach materialnych

W ośrodkach, równania Maxwella z polami $\vec{D}$ i $\vec{H}$ pozwalają określić prędkość propagacji fal:

$v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} = \frac{c}{n}$

gdzie $n$ to współczynnik załamania.

Zastosowania:

projektowanie soczewek, pryzmatów i układów optycznych,
technologia światłowodowa,
anteny dielektryczne i metamateriały,
kontrola fal w medycynie (MRI, laseroterapia).

9.4. Zasada działania anten

Z równania Ampera–Maxwella:

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0 \vec{J}$

wynika, że zmienne pole elektryczne lub prąd przewodzenia generuje pole magnetyczne.

W antenie:

prąd zmienny w przewodniku generuje pole elektromagnetyczne,
to pole odłącza się od anteny i rozchodzi w przestrzeni jako fala radiowa.

Zastosowania:

nadajniki i odbiorniki radiowe,
anteny satelitarne, radarowe i mikrofalowe,
łączność bezprzewodowa i transmisje telekomunikacyjne.

9.5. Zasada działania transformatora

Transformator opiera się bezpośrednio na równaniu Faradaya i zjawisku indukcji.

Dla dwóch cewek:

$\mathcal{E}2 = -N_2 \frac {d\Phi{12}}{dt}, \qquad \Phi_{12} = \frac{N_1 I_1}{\mathcal{R}}$

gdzie:

$N_1, N_2$ – liczba zwojów uzwojeń,
$I_1$ – prąd w uzwojeniu pierwotnym,
$\Phi_{12}$ – strumień magnetyczny sprzęgający,
$\mathcal{R}$ – reluktancja obwodu magnetycznego.

Zastosowania:

zasilacze i sieci energetyczne,
przekładnie napięcia w systemach przesyłu energii,
separacja galwaniczna i układy impulsowe.

9.6. Optyka i polaryzacja światła

Równania Maxwella opisują transwersalne fale elektromagnetyczne:
$\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k}$ .

Pozwala to badać zjawiska:

polaryzacji liniowej, kołowej, eliptycznej,
interferencji i dyfrakcji,
odbicia i załamania na granicach ośrodków (prawo Snelliusa).

Zastosowania:

filtry polaryzacyjne, mikroskopy, kamery 3D,
światłowody i lasery,
optyka nieliniowa i holografia.

9.7. Magnetyzm i materia

Z równania Gaussa dla pola magnetycznego:

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

wynika, że nie istnieją monopole magnetyczne – linie pola magnetycznego są zawsze zamknięte.
Z kolei z równania Ampera:

$\nabla \times \vec{H} = \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

można opisać zjawiska takie jak magnetyzacja i histereza.

Zastosowania:

silniki elektryczne, prądnice, elektromagnesy,
pamięci magnetyczne (HDD, taśmy),
rezonans magnetyczny (MRI).

9.8. Fale w falowodach i rezonatorach

Równania Maxwella w warunkach brzegowych pozwalają opisać fale stojące i tryby własne w falowodach.

Z równania falowego i warunków brzegowych na przewodzących ściankach otrzymujemy rozwiązania typu TE, TM i TEM:

$\nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0$

$\nabla^2 \vec{B} + k^2 \vec{B} = 0$

Zastosowania:

mikrofale i fale milimetrowe,
radary, lasery, komory rezonansowe,
systemy pomiarowe i komunikacja satelitarna.

9.9. Prąd przesunięcia Maxwella i fale elektromagnetyczne

Wprowadzenie przez Maxwella członu:

$\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

do równania Ampera było przełomowe — umożliwiło opis rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w próżni,
nawet tam, gdzie nie ma przewodnika ( $\vec{J} = 0$ ).

Zastosowania:

teoria fal radiowych,
wyjaśnienie propagacji światła i jego natury,
podstawy teorii pól elektromagnetycznych w fizyce kwantowej (QED).

10. Bibliografia

J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, New York, 1998.
L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Course of Theoretical Physics, Vol. 2, Butterworth-Heinemann, 1980.
W. K. H. Panofsky, M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2nd Edition, Addison-Wesley, 1962.
J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley, 1993.
W. Greiner, Classical Electrodynamics, Springer, 1998.
A. Sommerfeld, Lectures on Theoretical Physics, Vol. III: Electrodynamics, Academic Press, 1952.
Richard Feynman Wykłady Feynmana z fizyki, Tom 2, cz. 1 Elektryczność, Magnetyzm, Elektrodynamika/, Addison-Wesley, 1964.
David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki. – Wydanie II, 6 dodruk. – Warszawa, 2019

Otagowanoelektromagnetyzm, fizyka, operator, pole elektromagnetyczne, prawo Ampera, Prawo Faradaya, prawo Gaussa, próżnia, równania Maxwella, równanie falowe, wektor, wektor Poytinga

Elektromagnetyzm

1. Pola elektromagnetyczne

2. Równania Maxwella

3. Wyprowadzenie równań Maxwella — forma całkowa i różniczkowa

3.1 Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

3.1.1 Postać całkowa

3.1.2 Przejście do formy różniczkowej

3.2 Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

3.2.1 Postać całkowa

3.2.2 Przejście do formy różniczkowej

3.3 Prawo Faradaya (indukcji elektromagnetycznej)

3.3.1 Postać całkowa

3.3.2 Przejście do formy różniczkowej

3.4. Prawo Ampera–Maxwella

3.4.1. Postać całkowa (z poprawką Maxwella)

3.4.2 Przejście do formy różniczkowej

4. Równania Maxwella w ośrodku materialnym

5. Równania falowe elektromagnetyzmu w próżni

5.1. Założenia

5.2 Wyprowadzenie równania falowego dla pola elektrycznego

5.3 Wyprowadzenie równania falowego dla pola magnetycznego

5.4 Interpretacja fizyczna

5.5 Związek między polami i w fali elektromagnetycznej

5.6 Energia i strumień energii fali

5.7 Postać falowa równania i związek z równaniem d’Alemberta

5.8. Wniosek końcowy

6. Relatywistyczna forma równań Maxwella

6.1. Wprowadzenie: jedność przestrzeni i czasu

6.2. Czteroprąd i czteropotencjał

6.2.1 Czteropotencjał elektromagnetyczny

6.2.2 Czteroprąd

6.3. Tensor pola elektromagnetycznego

6.4. Równania Maxwella w zapisie tensorowym

6.4.1 Równania niejednorodne (z prądem)

6.4.2 Równania jednorodne (bez prądów)

6.5. Równanie zachowania ładunku

6.6. Siła Lorentza w zapisie tensorowym

6.7. Postać falowa w zapisie czterowymiarowym (w próżni)

6.8. Niezmienniczość relatywistyczna

6.9. Transformacje pól i

6.10. Energia i pęd pola elektromagnetycznego w zapisie tensorowym

7. Zasada zachowania ładunku elektrycznego

7.1. Wprowadzenie fizyczne

7.2. Postać całkowa zasady zachowania ładunku

7.3. Związek z prawem Ampera–Maxwella

7.4. Postać relatywistyczna (kowariantna)

7.5. Całkowity ładunek jako niezmiennik

7.6. Interpretacja geometryczna

7.7. Przykład praktyczny: rozładowujący się kondensator

7.8 Wniosek końcowy

8. Energia i pęd pola elektromagnetycznego

8.1. Wprowadzenie

8.2. Siła i praca pola elektromagnetycznego

8.3. Równanie Poyntinga — wyprowadzenie

8.3.1 Krok 1: pomnóż drugie równanie przez :

8.3.2 Krok 2: pomnóż pierwsze równanie przez :

8.3.3 Krok 3: odejmij równania stronami:

8.3.4 Krok 4: zastosuj tożsamość wektorową

8.3.5 Krok 5: przekształć wyrazy pochodne

8.3.6 Krok 6: równanie Poyntinga

8.4. Interpretacja równania Poyntinga

8.5. Wektor Poyntinga

8.6. Średni strumień energii (dla fali harmonicznej)

8.7. Pęd pola elektromagnetycznego

8.8. Tensor energii–pędu pola elektromagnetycznego

8.9. Ciśnienie promieniowania

9. Przykłady zastosowań równań Maxwella

9.1. Fale elektromagnetyczne (światło, radio, mikrofale)

Zastosowania:

9.2. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

Zastosowania:

Przykład:

9.3. Fale elektromagnetyczne w ośrodkach materialnych

Zastosowania:

9.4. Zasada działania anten

Zastosowania:

9.5. Zasada działania transformatora

Zastosowania:

9.6. Optyka i polaryzacja światła

Zastosowania:

5.5 Związek między polami $\vec{E}$ i $\vec{B}$ w fali elektromagnetycznej

6.9. Transformacje pól $\vec{E}$ i $\vec{B}$

8.3.1 Krok 1: pomnóż drugie równanie przez $\vec{E}$ :

8.3.2 Krok 2: pomnóż pierwsze równanie przez $\vec{B}/\mu_0$ :