Przestrzenie unormowane i zupełne

Ten wpis jest kontynuacją artykułu o przestrzeniach. Tutaj poprzedni artykuł:
https://www.farharod.info/science/matematyka/przestrzenie-liniowe/
Wymagane pojęcia: metryka, ciąg, ciąg Cauchy’ego, zbieżność, granica

Na początek o przestrzeniach zupełnych:

Są nimi przestrzenie liniowe, w których określono normę.

Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Odwzorowanie $\|\cdot\|\colon X \to [0, \infty)$ które spełnia dla każdego $x,y$ przestrzeni $X$ i skalarów $\alpha$ z ciała $K$ , warunki:

$\|x\| = 0 \Rightarrow x = 0$
$\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$ (dodatnia jednorodność)
$\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$ (norma sumy dwóch wektorów jest równa co najwyżej sumie norm dwóch wektorów)

Powyższe warunki nazywamy normą nad $X$ a przestrzeń $X$ z określoną normą $\|\cdot\|$ nazywa się przestrzenią unormowaną.

Jest wiele ciekawych twierdzeń dotyczących przestrzeni metrycznych. Jedno z nich to twierdzenie o Równoważność norm.

Jeśli $V$ jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad $\mathbb{R}$ to dowolne dwie normy definiują zupełne, równoważne metryki (tzn. wyznaczające tę samą topologię.)

O topologi innym razem.

Przechodzimy teraz do przestrzeni zupełnych.
Przestrzeń jest zupełna jeśli każdy ciąg Cauchy’ego w niej zawarty posiada granicę.

Cóż to znaczy? A to, że kolejne elementy ciągu zbliżają się do siebie, czyli można ograniczyć odległość między danymi elementami do odległości mniejszej niż jakakolwiek ustalona wcześniej wartość dodatnia.

Do własności ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzą m.in. takie własności:

-każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_Cauchy%E2%80%99ego#Warunek_Cauchy.E2.80.99ego
-każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony

Przykładami przestrzeni zupełnych są:
-przestrzeń $\mathbb{R}$ (z wartością bezwzględną)
-przestrzeń $\mathbb{R}^k$ (z metryką euklidesową)

W następnym wpisie, przejdziemy do przestrzeni funkcyjnych i liniowo-topologicznych i zakończymy temat Przestrzeniami Banacha.

4 thoughts on “Przestrzenie unormowane i zupełne”

Lord Dawid pisze:

12 września 2015 o 18:08

Artykuł bardzo fajny 🙂 Polecam pisać dłuższe artykuły bo za szybko się kończą 😛 Pozdrowienia Panie Matematyku 😉

Odpowiedz
1. farharod pisze:
  
  12 września 2015 o 18:10
  
  Dziękuję za miłe słowa. Postaram się pisać dłuższe, choć wydawało mi się, że mogą być nużące.
  
  Odpowiedz
Mateusz pisze:

13 września 2015 o 00:05

Wiem, że ciąg Cauchy’ego jest wymagany do artykułu (a nie w nim wyjaśniany), ale czy mógłbyś podać jakieś przykłady takiego ciągu (inne niż na Wikipedii)? 🙂

Odpowiedz
1. farharod pisze:
  
  21 września 2015 o 20:47
  
  Dowolny ciąg zbieżny jaki weźmiesz to będzie to ciąg cauchy’go w danej przestrzeni metrycznej.
  Jak weźmiesz sobie metrykę dyskretna, to zbieżne w niej są tylko ciągi stałe.
  Prosta $R$ (rzeczywista) jest zupełna wiec ciągi w niej zawarte są ciągami cauchy’ego
  
  Odpowiedz