Funkcja Gamma
Witam serdecznie!
Dziś zajmiemy się funkcją specjalną: funkcją gamma.
Funkcjami specjalnymi są funkcje, które nie są funkcjami elementarnymi tj. funkcje stałe, logarytm czy funkcje trygonometryczne.
Funkcja gamma to funkcja specjalna, rozszerzające pojęcie silni na liczby rzeczywiste i zespolone.
Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to funkcja gamma ma postać:
Zanim przedstawię własności owej funkcji, powtórzę co znaczy pojęcie silni.
silnia – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n.
np
Definicja formalna:
Funkcję definiuje się następująco:
Jak już pisałem wcześniej, funkcja gamma jest rozszerzeniem pojęcia silni na liczby rzeczywiste i zespolone.
Spełnia ona poniższe własności:
Ponieważ to:
Wyznaczę wprost z definicji, że :
Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n.
Rekurencyjnie wygląda to tak:
a tak wygląda zależność od funkcji :
Funkcję gamma możemy przedstawić za pomocą poniższego równania:
Kolejna własność liczby gamma to:
Okazuje się, że inna funkcja specjalna, funkcja Beta(całka Euelera pierwsze go rodzaju) może być przedstawiona za pomocą funkcji gamma:
Funkcja Beta: dla
a to inny sposób przedstawienia funkcji Beta:
Na dziś tyle 🙂
Filed under: analiza matematyczna,Matematyka - @ 14 listopada 2017 19:24
Tagi: całka Eulera, funkcja beta, funkcja elementarna, funkcja gamma, funkcja specjalna, silnia