Funkcja Gamma

Witam serdecznie!
Dziś zajmiemy się funkcją specjalną: funkcją gamma.
Funkcjami specjalnymi są funkcje, które nie są funkcjami elementarnymi tj. funkcje stałe, logarytm czy funkcje trygonometryczne.

Funkcja gamma to funkcja specjalna, rozszerzające pojęcie silni na liczby rzeczywiste i zespolone.
Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to funkcja gamma ma postać:
$\displaystyle{\Gamma(z) =\int \limits^\infty_0}t^{z-1}e^{-t}dt$

Zanim przedstawię własności owej funkcji, powtórzę co znaczy pojęcie silni.
silnia – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n.

np $4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4$

Definicja formalna:
Funkcję $\cdot !: \mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_+$ definiuje się następująco:
$\displaystyle{n!= \prod\limits_{k=1}^n dla \ n\geqslant 1}$

Jak już pisałem wcześniej, funkcja gamma jest rozszerzeniem pojęcia silni na liczby rzeczywiste i zespolone.
Spełnia ona poniższe własności:

$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$

Ponieważ $\displaystyle{\Gamma(1)=1}$ to: $\displaystyle{\Gamma(n+1)=n!}$

Wyznaczę wprost z definicji, że $\displaystyle{\Gamma(1)=1}$ : $\displaystyle{\Gamma(1)=\int\limits^{\infty}_{0}t^{1-1}e^{-t}dt =\int\limits^{\infty}_{0}e^{-t}dt=-e^{-t} \bigg|_0^\infty=1}$

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n.
Rekurencyjnie wygląda to tak:

$\displaystyle{n!!= \left\{\begin{array}{rcl}1\ \quad \textrm{dla}\ n=0 \ \textrm{lub}\ n=1 \\n\cdot(n-2)!! \quad\ dla \ \geqslant 2\\ \end{array} \right.}$

a tak wygląda zależność od funkcji $\Gamma$ :
$\displaystyle {\Gamma (n+\frac{1}{2})=\sqrt\pi\frac{(2n-1)!!}{n^2}}$

Funkcję gamma możemy przedstawić za pomocą poniższego równania:

$\displaystyle{\Gamma(z)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)\dots (z+n)}=\frac{1}{z}\prod\limits_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}}$

Kolejna własność liczby gamma to: