farharod

Witam serdecznie!
Dziś poczytacie o goniometrii, czyli dziale matematyki zajmujący się funkcjami trygonometrycznymi.
Wyjdziemy jednak dziś poza zakres szkoły średniej i dowiemy się czym są funkce cyklometryczne, hiperboliczne itd

Zaczniemy od tych nam znanych, czyli funkcji trygonometrycznych.
Okazuje się, że jest wiele sposobów na przedstawienie funkcji trygonometrycznych. Ja wybrałem dwa.
Jedno z nich to Definicja z elementów trójkąta prostokątnego a druga definicja za pomocą szeregu Taylora.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego:

Definicja za pomocą szeregu Taylora

Za pomocą szeregów można określić wartości funkcji trygonometrycznych dla każdej liczby rzeczywistej. Część z nich definiuje się na zbiorze liczb zespolonych a nawet kwaternionach (o których pisałem już na blogu)

A teraz wykresy dla funkcji trygonometrycznych:
sinus

cosinus

tangens

cotangens

secans

cosecans

A teraz przydatna tabelea wartości poszczególnych funkcji:

Na tę chwilę przedstawiam jak wyglądają pochodne funkcji trygonometrycznych i ich uogólnienie na wyższe wymiary.

I na koniec całeczki funkcji trygonometrycznych:

Tyle na temat, jeśli chodzi o funkcje trygonometryczne. Teraz przejdziemy do funkcji cyklometrycznych:

Są to po prostu funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale
[,]

arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale [, ]

arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale [,]

arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale [, ]

Teraz zajmiemy się funkcjami trygonometrycznymi zmiennej zespolonej
Jak to w matematyce powszechne, najlepiej uogólniać, i tak uogólniono funkcje trygonometryczne na zmienną zespoloną.

Niektóre z własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej uogólniono na liczby zespolone. Są nimi:

-okresowość (w tym okres podstawowy),
-tożsamości trygonometryczne,
-miejsca zerowe,
-punkty nieokreśloności: sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty:

I przyszedł czas na funkcje hiperboliczne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej:
a tak oto się przedstawiają wzory, którymi są one opisane:

Teraz kilka ciekawostek dotyczących funkcji hiperbolicznych:

-Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą
-Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla x>0 i malejącą dla x<0
-Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą
Z cosinusem hiperbolicznym wiąże się pojęcie krzywej łańcuchowej:
krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej masie[1] swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym

I na koniec funkcje hiperboliczne odwrotne:

Jeśli chcecie bym rozszerzył którąś część artykułu lub macie pytanie: piszcie w komentarzach.
Zapraszam do czytania i komentowania!

Bibliografia:
pl.wikiperdia.org

---

Filed under: Matematyka,trygonometria - @ 10 października 2017 20:10

Tagi: cosecans, cosinus, cotangens, funkcje area, funkcje odwrotne, krzywa łańcuchowa, matematyka, secans, sinus, tangens