Krzywe eliptyczne

Krzywą eliptyczną będziemy nazywać gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem O, zwanym “punktem w nieskończoności”. Straszne, prawda?
To może prościej: Krzywą eliptyczną reprezentuje równanie algebraiczne postaci: $y^2=x^3+ax+b$
A wcześniej wspominany punkt w nieskończoności to “górny koniec osi $OY$ .
A genusem nazywać będziemy liczbę otworów w rozmaitości. Sfera będzie miała genus $g=0$ a torus $g=1$ .

Mając dwa punkty: $P_1=(x_1,y_1)$ oraz $P_2=(x_2,y_2)$ na krzywej $E$ możemy obliczyć punkt $P_3=(x_3,y_3)$ .
$\Large{x_3 = m^2-x_1-x_2}$
$\Large{y_3=m(x_1-x_2)-y_1}$
$\Large{\begin{cases} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{dla } P_1 \neq P_2\\ \frac{3x^2_1+a}{2y_1}&\text{dla } P_1=P_2 \end{cases}}$
Jeśli $m$ jest nieskończone to $P_3= \infty$

W przypadku ciała liczb zespolonych $\mathbb{C}$ krzywa eliptyczna dana równaniem: $Y^2=X^3+aX+b$ jest tzw. powierzchnią Riemanna genusu $g=1$ czyli torusem.

Poniżej przykłady krzywych eliptycznych nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$
eliptic

Krzywe eliptyczne mają szerokie zastosowanie w współczesnej kryptografii.
W 1994 Andre Wilesowi udało się podać dowód tzw. Wielkiego Twierdzenia Fermata, korzystając właśnie z zagadnień związanych z krzywymi eliptycznymi.

Samo twierdzenie brzmi tak: dla liczby naturalnej $n>2$ nie istnieją takie liczby naturalne dodatnie $x,y,z,$ które spełniałyby równanie $x^n+y^n=z^n$

Fermat zanotował je na marginesie książki Arithmetica Diofantosa i opatrzył następującą uwagą:

“znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały, by go pomieścić”.

Dziś matematycy próbują znaleźć dowód twierdzenia na bazie teorii liczb.

Przykładem zastosowania krzywych eliptycznych jest OpenSSL – otwarta implementacja protokołów szyfrujących opartych o algorytmy na krzywych eliptycznych.

2 thoughts on “Krzywe eliptyczne”

Volkhv pisze:

28 października 2016 o 21:04

Bracie – ni chuja jeszcze tego nie kumam.

Odpowiedz
Dawka pisze:

29 października 2016 o 14:21

Wpis trzyma klasę 🙂 Jak kiedyś zrozumiem o co w nim chodzi to dam 10/10, na razie 8/10 bo kojarzę OpenSSL 😀

Odpowiedz

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Filed under: geometria,Matematyka - @ 27 października 2016 21:49

Tagi: ciało, genus, kryptografia, krzywa, krzywe eliptyczne, OpenSSL, prawo dodawania, punkt, rozmaitość