Przestrzenie liniowe
Witam!
Wróciłem do pisania bloga. Z tym powrotem nadeszła mała zmiana. Teraz przed właściwą częścią artykułu będę pisał jakie pojęcia są wymagane do zrozumienia artykułu. Na ewentualne pytania będę odpisywał w komentarzach.
Teraz właściwa część artykułu.
Wymagana znajomość pojęć: ciało, pierścień, pierścień przemienny, skalar, działanie dwuargumentowe.
Najprościej, przestrzeń liniowa to zbiór obiektów(wektorów), które mogą być dodawane i skalowane(czyli proporcjonalna zmiana długości danego wektora) i są związane z pewnym aksjomatami.
Aksjomaty:
-Dodawanie wektorów jest łączne
-Dodawanie wektorów jest przemienne
-Dodawanie wektorów ma element neutralny
-Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne
-Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów
-Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów
-Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów
-Mnożenie przez skalar ma element neutralny
Pierwsze 4 aksjomaty tworzą grupę abelową(o tym w innym artykule) ze względu na dodawanie. 5 i 6 to prawa rozdzielności.
Tutaj więcej o aksjomatach: https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa#Definicja
Teraz przejdę do przykładów przestrzeni liniowych:
1. Najprostszy przykład przestrzeni liniowej to wektor zerowy: tak więc
jest przestrzenią 0-wymiarową nad ciałem
2. Kolejnym przykładem jest samo ciało a więc zbiór liczb rzeczywistych czy zespolonych.
3. Przestrzeń współrzędnych czyli model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem: (przestrzeń współrzędnych rzeczywistych lub zespolonych
).
4. Kwaterniony (4-wymiarowe) i oktniony (8-wymiarowe) i sedeniony (16-wumiarowe) są przestrzeniami liniowymi nad zbiorem liczb rzeczywistych.
5. Macierze:
jeśli jest zbiorem macierzy z elementami w
to
jest przestrzenią liniową nad
6. Przestrzeń liniowa wielomianów:
Zbiór wielomianów o współczynnikach w jest przestrzenią liniową nad
oznaczaną
.
Na dziś tyle. W kolejnym artykule uzupełnimy wiedzę o przestrzeniach liniowych, przechodząc do przestrzeni funkcyjnych. Poruszymy temat zupełności przestrzeni i unormowania przestrzeni.
Gdy poznamy powyższe pojęcia, będziemy mogli przejść do przestrzeni Banacha i ogólnie analizy funkcjonalnej.
Miłego czytania 🙂
Filed under: Algebra,analiza funkcjonalna,Matematyka - @ 3 września 2015 22:19
Tagi: aksjomaty, kwaterniony, macierz, oktniony, przestrzeń liniowa, sedeniony, wektor
W matematyce rozwaza sie rowniez przestrzenie liniowe bedace zarazem przestrzeniami topologicznymi . Topologia okreslona na przestrzeni liniowej umozliwia w istocie wprowadzenie struktury jednostajnej . Jesli przestrzen ma nieskonczony wymiar, to mozna na niej okreslic wiecej niz jedna nierownowazna topologie .