Przestrzenie liniowe

Witam!
Wróciłem do pisania bloga. Z tym powrotem nadeszła mała zmiana. Teraz przed właściwą częścią artykułu będę pisał jakie pojęcia są wymagane do zrozumienia artykułu. Na ewentualne pytania będę odpisywał w komentarzach.

Teraz właściwa część artykułu.

Wymagana znajomość pojęć: ciało, pierścień, pierścień przemienny, skalar, działanie dwuargumentowe.

Najprościej, przestrzeń liniowa to zbiór obiektów(wektorów), które mogą być dodawane i skalowane(czyli proporcjonalna zmiana długości danego wektora) i są związane z pewnym aksjomatami.

Aksjomaty:
-Dodawanie wektorów jest łączne
-Dodawanie wektorów jest przemienne
-Dodawanie wektorów ma element neutralny
-Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne
-Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów
-Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów
-Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów
-Mnożenie przez skalar ma element neutralny

Pierwsze 4 aksjomaty tworzą grupę abelową(o tym w innym artykule) ze względu na dodawanie. 5 i 6 to prawa rozdzielności.

Tutaj więcej o aksjomatach: https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa#Definicja

Teraz przejdę do przykładów przestrzeni liniowych:

1. Najprostszy przykład przestrzeni liniowej to wektor zerowy: $\{ 0 \}$ tak więc $\{ 0 \}$ jest przestrzenią 0-wymiarową nad ciałem $K$

2. Kolejnym przykładem jest samo ciało $K$ a więc zbiór liczb rzeczywistych czy zespolonych.

3. Przestrzeń współrzędnych czyli model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem: (przestrzeń współrzędnych rzeczywistych $\mathbb{R}^n$ lub zespolonych $\mathbb{C}^n$ ).

4. Kwaterniony (4-wymiarowe) i oktniony (8-wymiarowe) i sedeniony (16-wumiarowe) są przestrzeniami liniowymi nad zbiorem liczb rzeczywistych.

5. Macierze:
jeśli $K^{m \times n}$ jest zbiorem macierzy z elementami w $K$ to $K^{m \times n}$ jest przestrzenią liniową nad $K$

6. Przestrzeń liniowa wielomianów:
Zbiór wielomianów o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x]$ .

Na dziś tyle. W kolejnym artykule uzupełnimy wiedzę o przestrzeniach liniowych, przechodząc do przestrzeni funkcyjnych. Poruszymy temat zupełności przestrzeni i unormowania przestrzeni.

Gdy poznamy powyższe pojęcia, będziemy mogli przejść do przestrzeni Banacha i ogólnie analizy funkcjonalnej.

Miłego czytania 🙂

One thought on “Przestrzenie liniowe”

Web Hosting pisze:

25 grudnia 2016 o 06:08

W matematyce rozwaza sie rowniez przestrzenie liniowe bedace zarazem przestrzeniami topologicznymi . Topologia okreslona na przestrzeni liniowej umozliwia w istocie wprowadzenie struktury jednostajnej . Jesli przestrzen ma nieskonczony wymiar, to mozna na niej okreslic wiecej niz jedna nierownowazna topologie .

Odpowiedz

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Filed under: Algebra,analiza funkcjonalna,Matematyka - @ 3 września 2015 22:19

Tagi: aksjomaty, kwaterniony, macierz, oktniony, przestrzeń liniowa, sedeniony, wektor