Przestrzenie liniowo-topologiczne, funkcyjne, Banacha.

W dzisiejszym artykule przedstawię definicje i przykłady przestrzeni liniowo-topologicznych, przestrzeni funkcyjnych oraz przestrzeni Banacha.

Wymagane pojęcia: zbiór otwarty, topologia, ciągłość

Wiemy już z artykułu https://www.farharod.info/science/matematyka/przestrzenie-liniowe/ czym jest przestrzeń liniowa.

Teraz przejdziemy do tego czym jest przestrzeń topologiczna.
Jest nią pewien zbiór $X$ w którym określono – w sposób dowolny – zbiór jego zbiorów otwartych, spełniających jedynie zadane aksjomaty topologii.

W kolejnym artykule uzupełnię naszą wiedzę o to jak zadaje się topologię np. przez zbiory otwarte.

Teraz możemy przejść do przestrzeni liniowo-topologicznych.
Przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia, że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe, tzn.
$X$ $x$ $X$ $\ni (x,y) \rightarrow x+y \in X$
$K$ $x$ $X$ $\ni (\lambda,y) \rightarrow \lambda y \in X$
gdzie $K$ to $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ .

Przykładem takich przestrzeni są przestrzenie normowalne, o których pisałem w poprzednim artykule.

Przestrzenią funkcyjną jest zbiór funkcji ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ . Przykładem jest zbiór wszystkich funkcji ciągłych na odcinku $[a,b]$ .

Jeśli określimy działania tj:
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$
otrzymamy unormowaną przestrzeń liniową, a więc przestrzeń Banacha.

Podsumowując: przestrzeń Banacha to przestrzeń unormowana w której metryka wyznaczona przez normę jest zupełna.
Ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych, które jest same nad sobą przestrzenią liniową, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej:
$|x| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$

Ciekawostką jest, że skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha.

W kolejnym artykule podejmę temat topologii, co ułatwi nam zrozumienie części dzisiejszego artykułu.
Zapraszam za kilka dni!

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Filed under: analiza funkcjonalna,Matematyka - @ 21 września 2015 21:41

Tagi: przestrzeń, przestrzeń Banacha, przestrzeń funkcyjna, przestrzeń liniowa, przestrzeń liniowo-topologiczna, topologia