Rozmaitości różniczkowalne

Na początek chciałbym zaprosić Was do czytania i obserwowania bloga mojego przyjaciela. Tutaj link: http://datart.pl/. Znajdziecie na nim wpisy o tematyce programowania. Serdecznie zapraszam!

Pierwszym przykładem rozmaitości różniczkowalnej będzie sfera.

Niech dany będzie podzbiór w $\mathbb{R}^{n+1}$
$\displaystyle{S^n(r)={(x_0,x_1,\cdots,x_n \in \mathbb{R}^{n+1} | \sum^{n}_{i=0}x^{2}_i=r^2}}$ ,
gdzie $r>0$

Określimy teraz atlas na zbiorze $S^n$ z topologią indukowaną z przestrzeni $\mathbb{R}^{n+1}$ .
Rozważmy dwe przeciwległe bieguny sfery $S^n$ leżące na zerowej osi $b^{+}=(r,0,\cdots,0)$ i $b^{-}=(-r,0,\cdots,0)$ i dwa zbiory otwarte w $S^n$

$U^{+}=S^n \ \{b^{+}\}$ , $U^{-}=S^n \ \{b^{-}\}$ ,

Niech A będzie punktem należącym do $U^+$ . Aby określić jego rzut stereograficzny $\displaystyle{\varphi: U^+\rightarrow \mathbb{R}^n}$ z punktu $b^+$ należy:
1. Umieścić hiperpłaszczyznę $\mathbb{R}^n$ jako styczną do sfery w punkcie $b^-$
2. Poprowadzić prostą przez punkt A i biegun $b^+$ , która przecina hiperpłaszczyznę styczna dokładnie w jednym punkcie A’
Punkt A’ nazywamy rzutem stereograficznym A i oznaczamy $A'=\varphi^+ (A)$

Jak widać na powyższym rysunku podobnie określimy rzut stereograficzny $\varphi^- : U^+ \rightarrow \mathbb{R}^n$ z punktu $b^-$ zamieniając tylko między sobą rolę biegunów $b^+$ i $b^-$ .

Czas na torus.
Zbiór $T=S^1(r)\times S^1(R)$ nazywamy torusem. Poniżej przedstawiam jego wygląd:

Jest to rozmaitość wymiaru 2. Można też określić torus n-wymiarowy: $T=S^1(r_1)\times \cdots \times S^1(r_n)$
Torus jest przykładem iloczynu kartezjańskiego dwóch rozmaitości.

Teraz wstęga Möbiusa.
W iloczynie kartezjańskim $[0,1]\times\mathbb{R}$ określamy relację równoważności klejącą punkt $(0,x)$ z punktem $(1,-x)$ , tzn. że klasa równoważności $[(t,x)]$ jest zbiorem jedno- lub dwuelementowym według zasady:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \{(t,x) \}&\mbox{gdy}&t\neq0,1\\ \{(0,x),(1,-x) \}&\mbox{gdy}&t=0\\ \{(0,-x),(1,x) \}&\mbox{gdy}&t=1\end{array}\right.$

Niech W będzie zbiorem ilorazowym $[0,1]\times\mathbb{R}$ przez powyższą relację równoważności wyposażonych w topologię ilorazową.
Wtedy W nazywamy wstęgą Móbiusa.

Poniżej przedstawiam sposób klejenia punktów:

Butelka Kleina:
Butelkę Kleina budujemy podobnie do wstęgi Mobiusa. Okrąg $S^1$ traktujemy jako zbiór liczb zespolonych takich, że $||z||=1$ .
Jeżeli $z \in S^1$ , to $\overline{z}$ jest tez punktem okręgu. W iloczynie kartezjańskim $[0,1]\times S^1$ sklejamy punkty $(0,z)$ oraz $1,\overline{z}$ . Zbiór ilorazowy oznaczamy przez K i nazywamy butelką Kleina. Poniżej grafika ją przedstawiająca: