Tensory

1. Transformacje układów współrzędnych

Operacja liniowa:

$\displaystyle{\widetilde{\underline{x}}}=\mathbf{A\underline{x}}$ lub

(wzór 1)
$\widetilde{x_1}=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3$
$\widetilde{x_1}=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3$
$\widetilde{x_1}=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3$

definiuje w przestrzeni trójwymiarowej transformację układu współrzędnych.
$x_\mu$ i $\widetilde{x}_\mu$ $(\mu=1,2,3)$ są współrzędnymi tego samego punktu w dwóch różnych układach współrzędnych.

Zamiast posługiwać się powyższym wzorem można zastosować konwencje sumacyjną Einsteina:
$\displaystyle{\widetilde{x}_\mu=\sum_{\nu=1}^{3}a_{\mu\nu}x_\nu}$ dla $\mu=1,2,3$
$\widetilde{x}_\mu=a_{\mu\nu}x_\nu$

Konwencje sumacyjną można wytłumaczyć tak: Jeśli jakiś indeks pojawia się dwa razy to całe wyrażenie jest sumowane po wszystkich ustalonych z góry wartościach indeksu. Jeśli zaś któryś z indeksów występuje tylko raz to równanie jest spełnione dla wszystkich wartości tego parametru i indeks ten jest indeksem bieżącym.

Jeżeli kartezjański układ współrzędnych $\widetilde{K}$ otrzymano z układu $K$ przez obrót, to macierz tej transformacji $\mathbf{A=D=}(d_{\mu\nu})$ jest ortogonalna i nazywamy ją macierzą obrotu.

Ortogonalna macierz obrotu $\mathbf{D}$ ma taką własność:
$\mathbf{D}^{-1}=\mathbf{D}^{\mathbf{T}}$

Ortogonalność macierzy obrotu $\mathbf{D}$ tzn. własność:
$\mathbf{DD^\mathbf{T}}=\mathbf{E}$ oraz $\mathbf{D}^{\mathbf{T}}\mathbf{D}=\mathbf{E}$

możemy zapisać w następujący sposób:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{3}d_{\mu i}d_{\nu i}=\delta_{\mu\nu}}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{3}d_{k\mu}d_{k\nu}=\delta_{\mu\nu}}$

dla $(\mu,\nu=1,2,3)$

i z powyższych dwóch równań wynika fakt, że wiersze i kolumny macierzy $\mathbf{D}$ są wzajemnie ortonormalne a $\delta_{\mu\nu}$ jest symbolem Kroneckera.

2. Tensory we współrzędnych kartezjańskich

NIech dany będzie obiekt $\mathbf{T}$ opisany w układzie kartezjańskim $K$ przez $3^n$ niezmienniczych względem translacji elementów $t_{ij\dots m}$
NIech $n$ będzie liczbą indeksów $i,j,\dots,m (n\ge 0)$ przy czym indeksy są uporządkowane i przyjmują wartości: $1,2,3$ .

Jeśli elementy $t_{ij\dots m}$ przechodząc z układu współrzędnych $K$ do $\widetilde{K}$ okreslony wzorem 1, transformują jak niżej:

$\displaystyle{\widetilde{t}_{\mu\nu \dots \rho}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\dots\sum_{m=1}^{3}a_{\mu i}a_{\nu j} \dots a_{\rho m}t_{ij \dots m}}$ ,
to $\mathbf{T}$ nazywamy tensorem n-tego rzędu a uporządkowane elementy $t_{ij\dots m}$ określamy mianem składowych tensora $\mathbf{T}$ .

Przykłady tensorów:

Tensor zerowego rzędu: ma tylko jedną składową czyli jest skalarem. Jego wartość jest taka sama we wszystkich układach współrzędnych a więć jest również niezmiennikiem skalarnym

Tensor pierwszego rzędu: ma 3 składowe $t_1,t_2,t_3$ a wzór transformacyjny ma postać:

$\displaystyle{\widetilde{t}_\mu=\sum_{i=1}^{3} a_{\mu i}t_i}$ dla ( $\mu=1,2,3$ )

Tensor drugiego rzędu: tensor $T$ ma 9 składowych $t_{ij}$ i przedstawiamy je w postaci macierzowej:
$\mathbf{T} =\left( \begin{array}{ccc}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\t_{21} & t_{22} & t_{23} \\t_{31} & t_{32} & t_{33} \end{array} \right)$

Wzór transformacyjny ma postać:
$\displaystyle{\widetilde{t}_{\mu\nu}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_{\mu i}a_{\nu j}t_{ij}}$ dla $(\mu=1,2,3)$

3. Rachunki
Elementarne działania algebraiczne: mnożenie tensora, dodawanie i odejmowanie tensorów tego samego rzędu wykonujemy po współrzędnych analogicznie do operacji na wektorach i macierzach

Iloczyn tensorowy: mamy tensory $\mathbf{A}$ i $\mathbf{B}$ o składowych $a_{ij\dots}$ oraz $b_{rs\dots}$ rzędu $m$ i $n$ .
Możemy teraz zdefiniować $3^{m+n}$ wielkości skalarnych:

$c_{ij \dots rs \dots}=a_{ij\dots}b_{rs\dots}$

będących składowymi tensora $\mathbf{C}$ rzędu $m+n$ . Możemy zapisać $\mathbf{C=AB}$ i wynikiem jest iloczyn tensorowy tensorów $A$ i $B$ .
Dla tensorów obowiązują prawa łączności $\mathbf{(AB)C=A(BC)}$ i rozdzielności $\mathbf{A(B+C)=AB+AC}$ .

iloczyn diadyczny iloczyn dwóch tensorów pierwszego rzędu $\mathbf{A}=(a_1,a_2,a_3)$ i $\mathbf{B}=(b_1,b_2,b_3)$ jest tensorem drugiego rzędu o elementach $c_{ij}=a_i b_j$ dla $(i,j=1,2,3)$ lub za pomocą macierzy: