Tensory
1. Transformacje układów współrzędnych
Operacja liniowa:
lub
(wzór 1)
definiuje w przestrzeni trójwymiarowej transformację układu współrzędnych.
i
są współrzędnymi tego samego punktu w dwóch różnych układach współrzędnych.
Zamiast posługiwać się powyższym wzorem można zastosować konwencje sumacyjną Einsteina:
dla
Konwencje sumacyjną można wytłumaczyć tak: Jeśli jakiś indeks pojawia się dwa razy to całe wyrażenie jest sumowane po wszystkich ustalonych z góry wartościach indeksu. Jeśli zaś któryś z indeksów występuje tylko raz to równanie jest spełnione dla wszystkich wartości tego parametru i indeks ten jest indeksem bieżącym.
Jeżeli kartezjański układ współrzędnych otrzymano z układu
przez obrót, to macierz tej transformacji
jest ortogonalna i nazywamy ją macierzą obrotu.
Ortogonalna macierz obrotu ma taką własność:
Ortogonalność macierzy obrotu tzn. własność:
oraz
możemy zapisać w następujący sposób:
dla
i z powyższych dwóch równań wynika fakt, że wiersze i kolumny macierzy są wzajemnie ortonormalne a
jest symbolem Kroneckera.
2. Tensory we współrzędnych kartezjańskich
NIech dany będzie obiekt opisany w układzie kartezjańskim
przez
niezmienniczych względem translacji elementów
NIech będzie liczbą indeksów
przy czym indeksy są uporządkowane i przyjmują wartości:
.
Jeśli elementy przechodząc z układu współrzędnych
do
okreslony wzorem 1, transformują jak niżej:
,
to nazywamy tensorem n-tego rzędu a uporządkowane elementy
określamy mianem składowych tensora
.
Przykłady tensorów:
Tensor zerowego rzędu: ma tylko jedną składową czyli jest skalarem. Jego wartość jest taka sama we wszystkich układach współrzędnych a więć jest również niezmiennikiem skalarnym
Tensor pierwszego rzędu: ma 3 składowe a wzór transformacyjny ma postać:
dla (
)
Tensor drugiego rzędu: tensor ma 9 składowych
i przedstawiamy je w postaci macierzowej:
Wzór transformacyjny ma postać:
dla
3. Rachunki
Elementarne działania algebraiczne: mnożenie tensora, dodawanie i odejmowanie tensorów tego samego rzędu wykonujemy po współrzędnych analogicznie do operacji na wektorach i macierzach
Iloczyn tensorowy: mamy tensory i
o składowych
oraz
rzędu
i
.
Możemy teraz zdefiniować wielkości skalarnych:
będących składowymi tensora rzędu
. Możemy zapisać
i wynikiem jest iloczyn tensorowy tensorów
i
.
Dla tensorów obowiązują prawa łączności i rozdzielności
.
iloczyn diadyczny iloczyn dwóch tensorów pierwszego rzędu i
jest tensorem drugiego rzędu o elementach
dla
lub za pomocą macierzy:
i nazywamy ten iloczyn: iloczynem diadycznym wektorów i
Filed under: algebra liniowa,Matematyka - @ 25 listopada 2017 23:53
Tagi: iloczyn diadyczny, iloczyn skalarny, konwencja sumacyjna, macierz, skalar, tensor, układ kartezjański, układ współrzędnych, wektor