Teoria chaosu: Fraktale część I

Dziś zajmiemy się wprowadzeniem w tematykę fraktali. Dokładniej zajmiemy się wymiarem Hausdorffa zbioru i definicją fraktala.
Na początek zaznaczę, że wszystkie rozważania dotyczą zbiorów w przestrzeni $\mathbb{R}^n$ z metryką euklidesową $d$ .
By wprowadzić pojęcie wymiaru Hausdorffa zbioru niezbędne będą tu definicje i lematy przygotowawcze.

Średnicę zbioru $A \subset \mathbb{R}^n$ nazywamy:

$diamA= sup\{d(x,y): x,y \in A\}$

$\delta$ -pokryciem zbioru A ( $\delta > 0$ ) nazywamy przeliczalną rodzinę zbiorów $\{U_i: i \in I \subset N\}$ , taką, że $\displaystyle{A\subset \bigcup_{i \in I}U_i}$ oraz $diam U_i \in (0,\delta]$ . Dla $\delta >0$ i $s\geq 0$ określamy:

$\displaystyle{H_{\delta}^s(A)=inf \{\sum_{i\in I}(diam U_i)^s:(U_i)_{i \in I} \in M(\delta)\}}$ , gdzie $M(\delta)$ oznacza rodzinę wszystkich $\delta$ -pokryć zbioru $A$ .

(Dowody poniższych 3 lematów podam w kolejnym artykule, o ile będą chętni na zapoznanie się z nimi)

Lemat 1
Istnieje granica $\displaystyle{H^s(A)= \lim_{\delta \rightarrow 0}H_{\delta}^s(A)=sup_{\delta>0}H_{\delta}^s(A)}$

Lemat 2
Dla każdego zbioru $A\subset \mathbb{R}^n$ funkcja $s\rightarrow H^s(A)$ , ( $s\geq 0$ ) jest funkcją nierosnącą. Jeśli $s$ < $t$ , to dla każdej liczby $\delta \in (0,1)$ jest: $H_{\delta}^s (A)\geq \delta^{s-t}H_{\delta}^t(A)$

Lemat 3
Jeśli s>n, to dla każdego $A \subset \mathbb{R}^n$ jest $H^s(A)=0$

Twierdzenie 1
Niech $A\subset \mathbb{R}^n$ . Istnieje wtedy dokładnie jedna liczba $d\geq 0$ taka, że:
$H^s(A)=\begin{cases} \infty &\text{dla }0 \leq s < d\\0 &\text{dla } s>d \end{cases}$

Definicja 1
Liczbę d, o której mowa w twierdzeniu 1, nazywamy wymiarem Hausdorffa zbioru A i oznaczamy $d=dim_H(A)$
$dim_H (A)= inf \{s\geq0 : H^s(A)=0\}$

Definicja 2
Podzbiór A przestrzeni $\mathbb{R}^n$ nazywamy fraktalem , gdy jego wymiar Hausdorffa $dim_H(A)$ jest liczba większa od jego wymiaru topologicznego.

Kilka własności:
– Fraktal jest zbiorem relatywnie zwartym
– Miara Lebesgue’a fraktala jest równa 0
– Jeśli F jest fraktalem oraz $dim_H(F)\in(0,1)$ , to jest on zbiorem całkowicie niespójnym
– Fraktal jest zbiorem spójnym lub całkowicie niespójnym
– Wymiar Hausdorffa zbioru otwartego jest równy zero
– Wymiar Hausdorffa jest niezmiennikiem dyfeomorfizmów.

W kolejnym artykule przeczytamy o atraktorach systemu IFS.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Filed under: Matematyka,teoria chaosu - @ 26 lutego 2018 23:43

Tagi: chaos, fraktal, wymiar, wymiar Hausdorffa, wymiar topologiczny