Teoria chaosu: Fraktale część II
Dziś krótki artykuł z serii Teoria chaosu. Zajmiemy się dziś, tak jak poprzednio, fraktalami.
Dziś powiemy o wymiarze Hausdorffa i Kołmogorowa oraz o możliwości oszacowania wymiaru Hausdorffa.
Na początek o wymiarze samopodobnego atraktora systemu IFS
w każde podobieństwo S o skali r jest postaci
, gdzie
oraz
jest przekształceniem ortogonalnym w
(jest reprezentowany przez macierz ortogonalną o wymiarze
x
Jeśli rozważymy system hiperboliczny IFS () gdzie
są
podobieństwami,
.
Niech będzie atraktorem Barnsleya wyznaczonym przez IFS.
Atraktor hiperbolicznego systemu IFS nazywamy samopodobnym, jeżeli funkcje ,
są odpowiednio
-podobieństwami dla
Wymiarem samopodobieństwa atraktora K systemu IFS, gdzie
są
-podobieństwami nazywamy liczbę s, która jest rozwiązaniem równania:
System hiperboliczny IFS () spełnia “warunek zbioru otwartego” jeśli istnieje zbiór otwarty
taki, że:
1. dla
2. dla
Przykładem atraktora samopodobnego jest: Dywan Sierpińskiego:
Jeśli dany jest system IFS gdzie są
-podobieństwami i spełniony jest “warunek zbioru otwartego” to:
i ponadto:
Możemy znaleźć się w sytuacji takiej, że atraktor IFS nie jest zbiorem samopodobnym ale jest spełniony pewien warunek, to można oszacować wymiar Hausdorffa, co pozwoli nam stwierdzić, że jest on fraktalem.
Dany jest system hiperboliczny IFS ( spełniający “warunek zbioru otwartego” ze zbiorem U. Atraktor ten oznaczymy jako K.
Załóżmy dodatkowo, że isteniją liczby dodatnie i
takie, że:
dla wszystkich oraz wszystkich
. Wtedy:
, gdzie s,t są zdefiniowane warunkiem:
.
Wymiar pojemnościowy Kołmogorowa:
Dla rozważmy pokrycie skończone zbioru A kostkami(odcinki, kwadraty, sześciany…)
o krawędziach równych
. Niech
Wymiarem pojemnościowym Kołmogorowa zbioru A nazywamy liczbę:
Jeżeli system IFS spełnia “warunek zbioru otwartego” oraz jego atraktor A jest samopodobny, to:
I na koniec:
Filed under: Matematyka,teoria chaosu - @ 27 marca 2018 21:43
Tagi: atraktor, atraktor barnsleya, dywam sierpińskiego, fraktal, IFS, samopodobieństwo, samopodobny, warunek zbioru otwartego, zbiór otwarty
próba komentarza ze wzorem, różne rozmiary