Teoria grup: część II – Przykłady grup
Witam,
w tym artykule przedstawię kilka przykładów grup. Pojawią się grupy abelowe, rzędów p, grupy kwaternionów czy też grupy permutacji.
Na początek o elementarnych grupach abelowych p-grupy.
Niech będzie liczba pierwszą, a – liczbą naturalną. Grupę , nazywamy -grupą elementarną abelową i oznaczamy przez . Grupa ta jest przestrzenią liniową wymiaru nad ciałem -elementowym .
Podgrupy grupy są podprzestrzeniami liniowymi tej przestrzeni, a homomorfizmy -grup elementarnych ableowych są tym samym, co przekształcenia liniowe odpowiednich przestrzeni liniowych.
Okazuje się, że pierwszy wiersz macierzy odwracalnej może byc dowolnym wketorem przestrzeni różny od wektora zerowego a więc można og wyvbrac na sposobów a także drugi wiersz takiej macierzy może być dowolnym wektorem przestrzeni liniowo niezależnym od wiersza pierwszego. Wynika z tego, że można drugi wiersz wybrać na sposobów.
Z powyższego wynika, że można wybierać kolejne wiersze jako wektory nienależące do popdrzestrzeni generowanej przez poprzednie wiersze z czego wynika, że rząd grupy jest równy:
Zanim przejdziemy do przykładów kolejnych grup, przedstawię dwa twierdzenia:
Twierdzenie 1: Jeżeli jest grupą i to
W szczególności jeśli , to .
Twierdzenie 2: Jeżeli grupa ilorazowa jest cykliczna, to , więc grupa jest abelowa.
Teraz o grupach rzędów i :
Niech będzie liczbą pierwszą. Jeśli , to każdy element , , generuje grupę a więc .
Jeżeli to na mocy twierdzenia 1 mamy i wobec tego .
Zatem grupa jest cykliczna a z twierdzenia 2 wynika, że jest abelowa.
Grupy rzędu :
Twierdzenie 3: Jeżeli jest grupą abelową o skończonej liczbie generatorów, to:
,
gdzie oraz liczby są potęgami liczb pierwszych o wykładnikach naturalnych.
Niech będzie liczbą pierwszą. Na podstawie twierdzenia 3 wynika, że isteniją dokładnie 3 nieizomorficzne grupy abelowe rzędu : a także
Teraz coś o czym już pisałem na blogu, a mianowicie kwaterniony:
Zbiór w którym działanie jest określone za pomocą wzorów:
,
jest grupą nieabelową. Nazywamy je grupą kwaternionów.
Centralizator i centrum:
Niec h będzie podzbiorem grupy . Zniór:
jest podgrupą grupy . Nazywamy ją centralizatorem zbioru w grupie .
Szczególnie jeśli to centralizator nazywamy centrum grupy i oznaczamy po prostu
Niech będzie grupą macierzy postaci:
gdzie . Jest to grupa nieabelowa rzędu .
Przez indukcję można ze względu na można udowodnić, że:
dla
Ciekawym twierdzeniem są twierdzenie 4 i 5:
Twierdzenie 4: Dla każdej liczby pierwsze istnieją dokładnie dwie nieizomorficzne grupy abelowe rzędu
Twierdzenie 5: Jeżeli liczby pierwsze i spełniają warunek to istnieje dokładnie jedna z dokładnością do izomorfizmu grupa nieabelowa rzędu .
Grupy permutacji:
Niech będzie grupą wszystkich permutacji zbioru o elementach. Ma ona rząd
Permutację zapisujemy w postaci:
Permutacje postaci:
gdzie elementy są różne, nazywamy cyklem długości i zapisujemy w prościej jako .
Cykl długości nazywamy transpozycją.
Na koniec o grupie Kleina:
W grupie permutacji zbioru czteroelementowego podzbiór
jest podgrupą izomorficzną z
Na teraz koniec, ale o grupach przeczytacie w kolejnych artykułach.
Dzięki!
Filed under: Matematyka,teoria grup - @ 14 grudnia 2017 19:19
Tagi: centralizator, centrum, generator, grupa, grupa abelowa, grupa cykliczna, grupa nieabelowa, izomorfizm, kwaterniony, macierz, macierz odwracalna, permutacjia, półgrupa