Teoria grup: część II – Przykłady grup

Witam,
w tym artykule przedstawię kilka przykładów grup. Pojawią się grupy abelowe, rzędów p, grupy kwaternionów czy też grupy permutacji.

Na początek o elementarnych grupach abelowych p-grupy.
Niech $p$ będzie liczba pierwszą, a $n$ – liczbą naturalną. Grupę $C_p \oplus \cdots \oplus C_p$ , nazywamy $p$ -grupą elementarną abelową i oznaczamy przez $C_p^n$ . Grupa ta jest przestrzenią liniową wymiaru $n$ nad ciałem $p$ -elementowym $\mathbb{F}_p$ .
Podgrupy grupy $C_p^n$ są podprzestrzeniami liniowymi tej przestrzeni, a homomorfizmy $p$ -grup elementarnych ableowych $C_p^n \longrightarrow C_p^m$ są tym samym, co przekształcenia liniowe odpowiednich przestrzeni liniowych.

Okazuje się, że pierwszy wiersz macierzy odwracalnej może byc dowolnym wketorem przestrzeni $\mathbb{F}_p^n$ różny od wektora zerowego a więc można og wyvbrac na $p_n -1$ sposobów a także drugi wiersz takiej macierzy może być dowolnym wektorem przestrzeni $\mathbb{F}_p^n$ liniowo niezależnym od wiersza pierwszego. Wynika z tego, że można drugi wiersz wybrać na $p^n -p$ sposobów.

Z powyższego wynika, że można wybierać kolejne wiersze jako wektory nienależące do popdrzestrzeni generowanej przez poprzednie wiersze z czego wynika, że rząd grupy $GL(n,\mathbb{F}_p^n)$ jest równy:

$\displaystyle{(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)\cdots (p^n-p^{n-1})}$

Zanim przejdziemy do przykładów kolejnych grup, przedstawię dwa twierdzenia:
Twierdzenie 1: Jeżeli $G$ jest $p-$ grupą i $1\neq H \lhd G$ to $H \cap \mathfrak{Z}(G)\neq 1$
W szczególności jeśli $G \neq 1$ , to $\mathfrak{Z}(G)\neq 1$ .
Twierdzenie 2: Jeżeli grupa ilorazowa $G/\mathfrak{Z}(G)$ jest cykliczna, to $G=\mathfrak{Z}(G)$ , więc grupa $G$ jest abelowa.

Teraz o grupach rzędów $p$ i $p^2$ :
Niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Jeśli $|G|=p$ , to każdy element $g\in G$ , $g \neq 1$ , generuje grupę $G$ a więc $G=C_p$ .
Jeżeli $|G|=p^2$ to na mocy twierdzenia 1 mamy $p||\mathfrak{z}(G)|$ i wobec tego $|G/\mathfrak{Z}(G)|p$ .
Zatem grupa $G/\mathfrak{Z}(G)$ jest cykliczna a z twierdzenia 2 wynika, że jest abelowa.

Grupy rzędu $p^3$ :
Twierdzenie 3: Jeżeli $G$ jest grupą abelową o skończonej liczbie generatorów, to:
$G=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus\mathbb{Z}\oplus C_{n_1} \oplus C_{n_2} \oplus \cdots \oplus C_{n_s}$ ,
gdzie $r\ge 0, s\ge$ oraz liczby $n_1 \ge n_2 \ge \cdots \ge n_s$ są potęgami liczb pierwszych o wykładnikach naturalnych.

Niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Na podstawie twierdzenia 3 wynika, że isteniją dokładnie 3 nieizomorficzne grupy abelowe rzędu $p^3$ : $C_{p^3}, C_{p^2}\oplus C_p$ a także $C_p \oplus C_p \oplus C_p$

Teraz coś o czym już pisałem na blogu, a mianowicie kwaterniony:
Zbiór $Q= \{ \pm 1, \pm i \pm j \pm k\}$ w którym działanie jest określone za pomocą wzorów:
$i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j$ ,
jest grupą nieabelową. Nazywamy je grupą kwaternionów.

Centralizator i centrum:
Niec h $A$ będzie podzbiorem grupy $G$ . Zniór:

$\displaystyle{\mathfrak{z}(A):=\{g \in G\bigwedge_{a\in A}gag^{-1}=a\} }$
jest podgrupą grupy $G$ . Nazywamy ją centralizatorem zbioru $A$ w grupie $G$ .
Szczególnie jeśli $A=G$ to centralizator $\mathfrak{z}g(G)$ nazywamy centrum grupy $G$ i oznaczamy po prostu $\mathfrak{z}(G)$

Niech $G$ będzie grupą macierzy postaci:

$\mathbf{M} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & a & b\\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
gdzie $a.b.c. \in \mathbb{F}$ . Jest to grupa nieabelowa rzędu $p^3$ .
Przez indukcję można ze względu na $n$ można udowodnić, że:
$\mathbf{M^n} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & na & nb+ {n \choose k}ac\\ 0 & 1 & nc \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
dla $n=1,2,\ldots$

Ciekawym twierdzeniem są twierdzenie 4 i 5:
Twierdzenie 4: Dla każdej liczby pierwsze $p$ istnieją dokładnie dwie nieizomorficzne grupy abelowe rzędu $p^3$
Twierdzenie 5: Jeżeli liczby pierwsze $p$ i $q$ spełniają warunek $p|q-1$ to istnieje dokładnie jedna z dokładnością do izomorfizmu grupa nieabelowa rzędu $pq$ .

Grupy permutacji:
Niech $S_n$ będzie grupą wszystkich permutacji zbioru $\{1,2,\ldots,n\}$ o $n-$ elementach. Ma ona rząd $n!$
Permutację $\sigma \in S_n$ zapisujemy w postaci:

$\mathbf{\sigma} =\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \ldots & \sigma(n) \end{array} \right)$
Permutacje postaci:
$\mathbf{\sigma} =\left( \begin{array}{ccccc} a_! & a_2 & \ldots & a_{k-1} & a_k\\ a_2 & a_3 & \ldots & a_k & a_1\end{array} \right)$
gdzie elementy $a_1,a_2,\ldots,a_k$ są różne, nazywamy cyklem długości $k$ i zapisujemy w prościej jako $(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ .
Cykl długości $2$ nazywamy transpozycją.

Na koniec o grupie Kleina:
W grupie $S_4$ permutacji zbioru czteroelementowego $\{1,2,3,4\}$ podzbiór
$V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ jest podgrupą izomorficzną z $C_1 \oplus C_2$