Teoria grup: część II – Przykłady grup
Witam,
w tym artykule przedstawię kilka przykładów grup. Pojawią się grupy abelowe, rzędów p, grupy kwaternionów czy też grupy permutacji.
Na początek o elementarnych grupach abelowych p-grupy.
Niech będzie liczba pierwszą, a
– liczbą naturalną. Grupę
, nazywamy
-grupą elementarną abelową i oznaczamy przez
. Grupa ta jest przestrzenią liniową wymiaru
nad ciałem
-elementowym
.
Podgrupy grupy są podprzestrzeniami liniowymi tej przestrzeni, a homomorfizmy
-grup elementarnych ableowych
są tym samym, co przekształcenia liniowe odpowiednich przestrzeni liniowych.
Okazuje się, że pierwszy wiersz macierzy odwracalnej może byc dowolnym wketorem przestrzeni różny od wektora zerowego a więc można og wyvbrac na
sposobów a także drugi wiersz takiej macierzy może być dowolnym wektorem przestrzeni
liniowo niezależnym od wiersza pierwszego. Wynika z tego, że można drugi wiersz wybrać na
sposobów.
Z powyższego wynika, że można wybierać kolejne wiersze jako wektory nienależące do popdrzestrzeni generowanej przez poprzednie wiersze z czego wynika, że rząd grupy jest równy:
Zanim przejdziemy do przykładów kolejnych grup, przedstawię dwa twierdzenia:
Twierdzenie 1: Jeżeli jest
grupą i
to
W szczególności jeśli , to
.
Twierdzenie 2: Jeżeli grupa ilorazowa jest cykliczna, to
, więc grupa
jest abelowa.
Teraz o grupach rzędów i
:
Niech będzie liczbą pierwszą. Jeśli
, to każdy element
,
, generuje grupę
a więc
.
Jeżeli to na mocy twierdzenia 1 mamy
i wobec tego
.
Zatem grupa jest cykliczna a z twierdzenia 2 wynika, że jest abelowa.
Grupy rzędu :
Twierdzenie 3: Jeżeli jest grupą abelową o skończonej liczbie generatorów, to:
,
gdzie oraz liczby
są potęgami liczb pierwszych o wykładnikach naturalnych.
Niech będzie liczbą pierwszą. Na podstawie twierdzenia 3 wynika, że isteniją dokładnie 3 nieizomorficzne grupy abelowe rzędu
:
a także
Teraz coś o czym już pisałem na blogu, a mianowicie kwaterniony:
Zbiór w którym działanie jest określone za pomocą wzorów:
,
jest grupą nieabelową. Nazywamy je grupą kwaternionów.
Centralizator i centrum:
Niec h będzie podzbiorem grupy
. Zniór:
jest podgrupą grupy . Nazywamy ją centralizatorem zbioru
w grupie
.
Szczególnie jeśli to centralizator
nazywamy centrum grupy
i oznaczamy po prostu
Niech będzie grupą macierzy postaci:
gdzie . Jest to grupa nieabelowa rzędu
.
Przez indukcję można ze względu na można udowodnić, że:
dla
Ciekawym twierdzeniem są twierdzenie 4 i 5:
Twierdzenie 4: Dla każdej liczby pierwsze istnieją dokładnie dwie nieizomorficzne grupy abelowe rzędu
Twierdzenie 5: Jeżeli liczby pierwsze i
spełniają warunek
to istnieje dokładnie jedna z dokładnością do izomorfizmu grupa nieabelowa rzędu
.
Grupy permutacji:
Niech będzie grupą wszystkich permutacji zbioru
o
elementach. Ma ona rząd
Permutację zapisujemy w postaci:
Permutacje postaci:
gdzie elementy są różne, nazywamy cyklem długości
i zapisujemy w prościej jako
.
Cykl długości nazywamy transpozycją.
Na koniec o grupie Kleina:
W grupie permutacji zbioru czteroelementowego
podzbiór
jest podgrupą izomorficzną z
Na teraz koniec, ale o grupach przeczytacie w kolejnych artykułach.
Dzięki!
Filed under: Matematyka,teoria grup - @ 14 grudnia 2017 19:19
Tagi: centralizator, centrum, generator, grupa, grupa abelowa, grupa cykliczna, grupa nieabelowa, izomorfizm, kwaterniony, macierz, macierz odwracalna, permutacjia, półgrupa