Teoria grup: część I

Teoria grup to dział matematyki, który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami.

Teoria grup ma wiele zastosowań: m.in.: kryptografia, krystalografia, genetyka czy też muzyka.

Dziś omówimy podstawowe pojęcia tj. grupa, półgrupa, monoid.
Podam też kilka przykładów grup.

Zaczniemy od definicji grupy: Grupa to zbiór wyróżniony łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.

Grupą nazywamy zbiór wyposażony w działanie z $G \times G \rightarrow G$ spełniający następujące aksjomaty:

1. działanie łączne: $(ab)c=a(bc)$ $\forall_{a,b,c} \in G$
2. istnieje element $e \in G$ nazywany “neutralnym” taki, że $ea=ae=a$ $\forall_{a,b,c} \in G$
3. Dla każdego $a \in G$ istnieje element odwrotny $a^{-1}$ czyli taki, że: $aa^{-1}=a^{-1}a=e$

Teraz przykład:
$Z= (\mathbb{Z},+,0)$ – czyli zbiór liczb całkowitych z dodawaniem i elementem neutralnym 0 jest grupą:
– suma dwóch liczb całkowitych jest zawsze liczbą całkowitą
– $(a+b)+c= a+(b+c)$ dla dowolnych $a,b,c \in \mathbb{Z}$
– 0 jest elementem neutralnym ponieważ: $0+a=a+0=a$
– $-a$ jest elementem odwrotnym liczby $a$ , gdyż $a+(-a)=(-a)+a=0$

Inne przykłady grup:
Grupy liczbowe z dodawaniem: $(\mathbb{R},+)$ , $(\mathbb{Q},+)$ , $(\mathbb{Z},+)$ , $(\mathbb{C},+)$
Grupa liczbowa z mnożeniem: $(\mathbb{R}\setminus{0},\cdot)$
Grupa macierzy z dodawaniem: $(M_{n x m}(\mathbb{R}),+)$

Czas na półgrupę, czyli ogólny przypadek grupoidu:
Parę gdzie $(S,\circ)$ gdzie $S$ to zbiór a $\circ: S \rightarrow S$ jest działaniem dwuargumentowym, nazywamy półgrupą jeśli $\circ$ jest działaniem łącznym.

Innym przykładem półgrupy są liczby całkowite dodatnie z dodawaniem.
Szczególnymi przypadkami półgrup są: grupa i monoid.

Teraz zajmiemy się monoidem:

Monoid to półgrupa, której działanie ma element neutralny:
$ea=ae=a$ $\forall_{a,b,c} \in G$ oraz
$(ab)c=a(bc)$ $\forall_{a,b,c} \in G$ (działanie łączne)

Liczby naturalne (z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.
Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).

Warto zauważyć, że:
Klasa półgrup $\supseteq$ klasa monoidów $\supseteq$ klasa grup.

3 thoughts on “Teoria grup: część I”

Pindelek pisze:

27 grudnia 2016 o 18:31

Kamilu to teraz za pomocą teorii grup pomożesz mi ułożyć kostkę rubika w 26 ruchach 😉

Odpowiedz
1. farharod pisze:
  
  27 grudnia 2016 o 18:37
  
  Już dawno nie układałem, ale można spróbować 😀
  
  Odpowiedz
Maciek pisze:

27 grudnia 2016 o 21:17

Bardzo interesujący wpis! Oby tak dalej 🙂

Odpowiedz