Hipoteza Riemanna

Dziś zajmiemy się jednym z nierozwiązanych Problemów Milenijnych, za które jest nagroda równa 1mln $.

Zaczniemy od przedstawienia wzory na funkcję dzeta.

A wygląda ona tak:

$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n-1}^\infty \frac{1}{n^s}\$

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu $s=1$

Ogólnie funkcję zeta Riemanna możemy zapisać w poniższy sposób:

$\displaystyle\zeta(s)=1+ \frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+ \frac{1}{4^s}+\dots=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\$

Dla $s=\sigma+it$ mamy $\displaystyle|n^{-s}|=n^{-\sigma}\$

Z powyższego wyrażenia wyniki, że funkcja $\zeta$ jest holomorficzna co oznacza, że funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych $\mathbb {C}$ o wartościach w $\mathbb {C}$ która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.

Euler wykazał, że $\displaystyle\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3^s}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5^s}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{7^s}}\cdot\dots=\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\$ , gdzie $\mathcal{P}$ oznacza zbiór liczb pierwszych.

Wynika również następująca tożsamość:

$\displaystyle\frac{1}{\zeta(s)}=\prod_{p\in\mathcal{P}}(1-\frac{1}{p^s})\$ dla $\mathfrak{R}(s)=1$

Wiemy, że już w starożytności udowodniono, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (sito Eratostenesa).

Z kolei Gauss badał tabele liczb pierwszych i doszedł do wyrażenia:

$\displaystyle\Pi(n)\thicksim\frac{n}{\log n}\$ . Wynia z tego, że: $\frac{\pi(n)}{\frac{n}{\log n}}\overrightarrow{n \to \infty}1\$

Pomocne było wynalezienie logarytmu całkowego, który prezentuje się tak:(zapisujemy go tam, jeśli rozważamy go w teorii liczb)

$\displaystyle Li(x)=\int_x^2 \frac{dt}{\log t}\$ z czego obserwujemy, że:

$Li(x)\thicksim \frac{x}{\log x}$ przy $x \to\infty$

Przy zerze dążącym do nieskończoności błąd będzie malał (wg twierdzenia o liczbach pierwszych).

Teraz o samej hipotezie Riemanna, która brzmi:

Część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji $\zeta$ równa się $\frac{1}{2}$ .

Wynika z tego, że wszystkie nietrywialne zera funkcji $\zeta$ leżą na prostej krytycznej równej: $\frac{1}{2}+ it$ dla $t\in \mathbb{R}$

Z racji, że możemy się jednoznacznie przedłużyć analitycznie funkcję zeta to przyjmuje ona postać równania funkcyjnego:

$\displaystyle\zeta(s)= 2^s\cdot\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$ gdzie: $\Gamma\$ to funkcja gamma, która już omawialiśmy na blogu.

Pisząc o hipotezie Riemanna warto wspomnieć o notacji dużego O.

Na początek zdefiniujmy duże O:

Funkcja X jest równa O duże od funkcji Y, jeśli dla wystarczająco dużych argumentów wartości funkcji X nigdy nie przekraczają pewnej określonej krotności wartości funkcji Y.

Hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości:

$\pi(n)= Li(n)+O(\sqrt(n)\ln n$ gdzie $Li(n)$ oznacza resztę z logarytmu całkowego.

Przy hipotezie Riemanna rozważa się tzn funkcję Möbiusa:

$\circ \ \mu=1$

$\circ \ \mu=0$ jeśli liczba n jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej,

$\circ \ \mu=1^{-k}$ jeżeli liczba $n$ jest iloczynem $k$ różnych liczb pierwszych.

Poniżej wartości funkcji dla małych n. Gdy n jest liczbą pierwszą wartość funkcji wynosi -1.

One thought on “Hipoteza Riemanna”

Astro pisze:

5 grudnia 2021 o 09:00

Hipoteza Riemanna już dziś jest stosowana przy znajdowaniu liczb pierwszych, które są wykorzystywane m.in. w algorytmach kryptograficznych. Miejsca zerowe funkcji dzeta mają też interpretację fizyczną – ich rozkład odpowiada rozkładowi poziomów energetycznych w atomach pierwiastków ciężkich.

Odpowiedz

Skomentuj Astro Anuluj pisanie odpowiedzi

Filed under: Teoria liczb - @ 5 grudnia 2021 07:20

Tagi: hipoteza riemanna, liczby pierwsze, logarytm całkowy, matematyka