Konstrukcje liczb

Dziś dowiemy się o tym czym są liczby zespolone, kwaterniony, oktoniony i sedoniony.
Zaczniemy od konstrukcji liczb zespolonych.

A więc: liczba zespolona to liczba będąca elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną $i$
Wyglądają one tak: $z=a+bi$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi a $i=\sqrt {-1}$ .
Liczby zespolone są jedynym skończeniewymiarowym przemiennym ciałem obejmującym liczby rzeczywiste, różnym od ciała liczb rzeczywistych

Zanim przejdziemy do kolejnych zbiorów liczb wytłumaczę czym jest Konstrukcja Cayleya-Dicksona.
Konstrukcja ta jest metodą rozszerzania unormowanej przestrzeni liniowej przez tworzenie par jej elementów $(a,b)$ i określenie działań w taki sposób jak to przedstawia tabela poniżej:

Możemy teraz przejść do kwaternionów będących rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Są one unormowaną algebrą z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi.
Stosując konstrukcję Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych otrzymujemy kwaterniony.
Są one postaci: $h= a+bi+cj+dk$ gdzie $1,i,j,k$ mnożą się w następujący sposób:

Jednym z zastosowań kwaternionów jest używanie ich w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

Przejdźmy do oktonionów. Stosując ponownie konstrukcję Cayleya-Dicksona, tym razem do kwaternionów, uzyskujemy tzw. oktawy Cayleya albo inaczej oktoniony.

Oktawa Cayleya jest ósemką liczb rzeczywistych. Stanowią one niełączną algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych.
Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i $7$ jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: podniesione do kwadratu dają $-1$

Działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:

I czas na sedoniony:
Sedeniony powstają po zastosowaniu konstrukcji Cayleya-Dicksona do oktonionów. Mają właściowiści tj. posiadanie dzielników zera, czyli istnieją wśród nich niezerowe liczby, których iloczyn jest zerem.

Każdy sedenion można przedstawić jako kombinację liniową sedenionów: $1,e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9,e_{10},e_{11},e_{12},e_{13},e_{14},e_{15}$
Tworzą one bazę przestrzeni liniowej sedenionów nad ciałem liczb rzeczywistych.

Tak jak w przypadku oktonionów, mnożenie sedenionów nie jest przemienne ani łączne.
A mnożenie wygląda tak:

Dziś na tyle, miłego czytania!

One thought on “Konstrukcje liczb”

Król Dawid Wielki pisze:

19 stycznia 2017 o 10:59

No ładnie 🙂 O kwaternionach słyszałem na studiach ale nigdy nie czytałem więcej o nich. Artykuł bardzo na plus tylko mógłby by być trochę dłuższy 🙂

Odpowiedz

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Filed under: Teoria liczb - @ 19 stycznia 2017 10:12

Tagi: kwaterniony, liczby zespolone, oktniony, sedoniony