farharod

Dziś o hipotezie continuum. Zanim do niej przejdziemy kilka pojęć wprowadzających.

moc zbioru – to uogólnienie pojęcia liczebności zbioru. Np. mocą zbioru skończonego jest liczba jego elementów. Można pojęcie mocy zbioru rozszerzyć na zbiory nieskończone.

zbiór przeliczalny – to zbiór skończony lub zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Co to oznacza? A to, że istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna między nim a zbiorem liczb naturalnych. Tzn, że każdemu elementowi tego zbioru możemy przypisać kolejną liczbę naturalną. Pamiętajmy, że zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym.

Do własności takiego zbioru należy m.in. to, że nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny a także to, że suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Przykłady zbiorów przeliczalnych:
– Zbiór wszystkich liczb naturalnych nieparzystych jest zbiorem przeliczalnym ponieważ funkcja ustala równoliczność zbioru liczb naturalnych ze zbiorem liczb nieparzystych.
– Zbiór wszystkich liczb pierwszych jest (nieskończonym) zbiorem przeliczalnym, jako nieskończony podzbiór zbioru liczb naturalnych.
– Zbiór wszystkich liczb całkowitych i algebraicznych jest przeliczalny.

zbiór nieprzeliczalny – zbiór, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (zatem ma większą moc).

Własności:
– Suma dwóch (i dowolnej ilości) zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
– Różnica zbioru nieprzeliczalnego i przeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.
– Iloczyn kartezjański dowolnej ilości zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Przykład:
– zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
– zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny
– zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny

continuum – moc zbioru liczb rzeczywistych, oznaczana zwykle symbolem . Warto zaznaczyć, że w roku 1874 Georg Cantor udowodnił, że nie istnieje funkcja zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych co oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych.

Możemy przejść do sformułowania hipotezy continuum:

„czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”

Możemy zapytać, również czy: czy jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną.

W 1940, Kurt Gödel dowiódł, że ta hipoteza jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermelo-Fraenkela (o tych aksjomatach w kolejnych artykułach).
Z kolei w 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co pozwala nam bez popadania w sprzeczność dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

Warto dodać, że 1966 roku za to osiągnięcie Paul Cohen otrzymał medal Fieldsa.

---

Filed under: teoria mnogości - @ 5 października 2016 14:06

Tagi: continuum, liczby naturalne, liczby rzeczywiste, lixzba kardynalna, moc zbioru, zbiór nieprzeliczalny, zbiór przeliczalny