Transformata Laplace’a
Funkcja spełniająca warunki:
1. funkcja dla
i jest określona dla
2. rośnie nie szybciej niż funkcja wykładnicza, czyli
, gdzie
i
3. ma skończoną liczbę punktów nieciągłości(dla każdego z tych punktów istnieje granica lewo- i prawo- stronna
odpowiada w dziedzinie częstotliwości zespolonych funkcja
zwana transformatą funkcji
.
Przejście z do
definiiujemy tak:
i oznaczamy
Teraz wyznaczymy transformatę Laplace’a funkcji , gdzie
jest dowolną liczbą,
Jeżeli to
, gdzie
jest okresem funkcji
.
Twierdzenie to nosi nazwę: twierdzenia o transformacie funkcji okresowej.
Jeżeli funkcja określona w półpłaszczyźnie zespolonej
spełnia założenia:
1. ma pochodną
2.
3. całka jest zbieżna
to funkcja określona wzorem:
jest transformatą odwrotną funkcji tzn.
Twierdzenie Heaviside’a: Jeżeli oraz
są wielomianami odpowiednio stopnia l i m gdzie
i wielomian
ma n różnych miejsc zerowych
, to:
Skorzystamy z twierdzenia Heaviside’a i wyznaczymy transformatę odwrotna funkcji:
Wypiszemy odpowiednio wielomiany
Jeżeli to dla pierwiastków mianownika
otrzymujemy:
stąd
W kolejnych wpisach zajmiemy się równaniami różniczkowymi i równaniami całkowymi, w odniesieniu do transformaty Laplce’a.
Filed under: Matematyka,Rachunek operatorowy - @ 21 listopada 2017 11:43
Tagi: granica, Laplace, oryginał, transformata, transformata Laplace'a, wielomian