Transformata Laplace’a

Funkcja $f(t)$ spełniająca warunki:
1. funkcja $f(t)=0$ dla $t<0$ i jest określona dla $t\geq 0$
2. $|f(t)|$ rośnie nie szybciej niż funkcja wykładnicza, czyli $|f(t)|\le Ae^{\sigma t}$ , gdzie $A>0$ i $\sigma \le 0$
3. $f(t)$ ma skończoną liczbę punktów nieciągłości(dla każdego z tych punktów istnieje granica lewo- i prawo- stronna
odpowiada w dziedzinie częstotliwości zespolonych $s=\sigma i\omega$ funkcja $F(s)$ zwana transformatą funkcji $f(t)$ .

Przejście z $f(t)$ do $F(s)$ definiiujemy tak:

$F(s)= \displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt}$
i oznaczamy $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$

Teraz wyznaczymy transformatę Laplace’a funkcji $f(t)=e^{at}$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą, $a\neq 0$
$F(s)= \displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{(a-s)t}dt}=\displaystyle{\frac{1}{a-s}[\lim_{t\to\infty}e^{(a-s)t}-e^0=-\frac{1}{a-s}=\frac{1}{s-a}]}$

Jeżeli $f(t+T)=f(t)$ to
$\displaystyle{ F(s)= \frac{1}{1-e^{-Ts}}}$ $\displaystyle{{\int_{0}^{T} f(t)e^{-st}dt}}$ , gdzie $T$ jest okresem funkcji $f(t)$ .
Twierdzenie to nosi nazwę: twierdzenia o transformacie funkcji okresowej.

Jeżeli funkcja $F(s)$ określona w półpłaszczyźnie zespolonej $Re(s)>\alpha$ spełnia założenia:
1. $F(s)$ ma pochodną $\frac{dF}{ds}$
2. $\displaystyle{\lim_{Im(s)\to\infty}F(s)=0}$
3. całka $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|F(\sigma + i\omega||}$ jest zbieżna
to funkcja $f(t)$ określona wzorem:
$\displaystyle{f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\omega}^{\sigma+i\omega}F(s)e^{st}ds}$
jest transformatą odwrotną funkcji $F(s)$ tzn. $f(t)=\mathcal{L}^{-1}{F(s)}$

Twierdzenie Heaviside’a: Jeżeli $L(s)$ oraz $M(s)$ są wielomianami odpowiednio stopnia l i m gdzie $l<m$ i wielomian $M(s)$ ma n różnych miejsc zerowych $s_1,s_2,\ldots, s_n$ , to:

$\displaystyle{\mathcal{L}^{-1}\{\sum_{i=1}^n\}\frac{L(s_i)}{M'(s_i)}e^{s_i}}$

Skorzystamy z twierdzenia Heaviside’a i wyznaczymy transformatę odwrotna funkcji:

$\displaystyle{F(s)=\frac{s-2}{s(s-1)(s+3)}}$

Wypiszemy odpowiednio wielomiany $L(s),M(s), M'(s)$
$L(s)=s-2, M(s)=s(s-1)(s-2)(s+3)=s^3+2s^2-3s, M'(s)=3s^2+4s-3$

Jeżeli $\displaystyle{c_i=\frac{L(s_i)}{M'(s_i)}}$ to dla pierwiastków mianownika $s_1=-3, s_2=0,s_3=1$ otrzymujemy:

$\displaystyle{c_1=\frac{L(s_i)}{M'(s_1)}=\frac{L(-3)}{M'(-3)}=-\frac{5}{12}}$
$\displaystyle{c_2=\frac{L(s_2)}{M'(s_2)}=\frac{L(0)}{M'(0)}=\frac{2}{3}}$
$\displaystyle{c_3=\frac{L(s_3)}{M'(s_3)}=\frac{L(1)}{M'(1)}=-\frac{1}{4}}$