Układ Lorenza i inne atraktory

1. Definicja atraktora

Atraktor to taki zbiór w przestrzeni fazowej układu dynamicznego, do którego trajektorie dążą z pewnego otoczenia (tzw. basenu przyciągania), gdy czas t \to \infty

Zbiór zwarty

A \subset X,\qquad A \text{ jest zwarty i niepusty.}

Niezmienniczość względem przepływu

\varphi_t(A) = A \qquad dla każdego t \in \mathbb{R}

Własność przyciągania

\lim_{t \to \infty} d(\varphi_t(x), A) = 0, \qquad x \in U

gdzie U jest basenem przyciągania atraktora:

U = \{ x \in X : \lim_{t\to \infty} d(\varphi_t(x), A) = 0 \}

2. Definicja wykładnika Lapunowa (chaos)

\lambda = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}\ln \frac{\|\delta x(t)\|}{\|\delta x(0)\|}

3. Wymiar fraktalny atraktora (np. Hausdorffa)

\dim_H(A)=\inf\left\{s:\;\mathcal{H}^s(A)=0\right\}

4. Niezmienniczość miary na atraktorze

\mu(\varphi_t^{-1}(B)) = \mu(B), \qquad B \subset A.

5. Atraktor jako zbiór omega–graniczny

\omega(x) = \left\{ y \in X : \exists\, t_n \to \infty,\; \varphi_{t_n}(x) \to y \right\}

Atraktor globalny:

A = \bigcup_{x \in X} \omega(x).

1. Układ Lorenza

Układ Lorenza jest klasycznym przykładem trójwymiarowego autonomicznego układu nieliniowego, który dla pewnych parametrów generuje atraktor chaotyczny. Został wprowadzony przez E.N. Lorenza (1963) jako model konwekcyjnej wymiany ciepła w atmosferze.

Równania układu

\begin{cases}\dot{x} = \sigma (y - x), \\\dot{y} = x(\rho - z) - y, \\\dot{z} = xy - \beta z\end{cases}

gdzie:

\sigma > 0, \qquad \rho > 0, \qquad \beta > 0.

Punkty równowagi

E_0 = (0,0,0)

Dla \rho > 1 istnieją dwa dodatkowe punkty równowagi.

E_{\pm}=\left(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\;\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\;\rho - 1\right)

Jacobian układu

DF(x,y,z)=\begin{pmatrix}-\sigma & \sigma & 0 \\\rho - z & -1 & -x \\y & x & -\beta\end{pmatrix}

Stabilność punktów równowagi

W punkcie E_0 wartości własne:

\lambda_1=-\sigma,\qquad\lambda_2=-\beta,\qquad\lambda_3=\rho-1

Zatem:

Dla klasycznych parametrów Lorenza:

\sigma = 10,\quad \rho = 28,\quad \beta = \frac{8}{3}

układ jest niestabilny i generuje atraktor chaotyczny.

2. Układ Rösslera

Układ Rösslera został zaproponowany w 1976 r. jako minimalny układ o jednym zwoju w przestrzeni fazowej, generujący chaos.

Równania

\begin{cases}\dot{x} = -y - z, \\\dot{y} = x + a y, \\\dot{z} = b + z(x - c)\end{cases}

Standardowe parametry:

a=0.2,\quad b=0.2,\quad c=5.7

Układ charakteryzuje się spiralnym ruchem w płaszczyźnie (x,y)(x,y)(x,y) raz powolnym „dryfem” w kierunku zzz, prowadzącym do chaosu.

3. Układ Chua

Układ Chua jest pierwszym fizycznie zrealizowanym układem elektronicznym, który wykazuje chaos.

Równania

\begin{cases}\dot{x} = \alpha (y - x - h(x)), \\\dot{y} = x - y + z, \\\dot{z} = -\beta y\end{cases}

gdzie nieliniowość Chua:

h(x) = m_1 x + \frac{1}{2}(m_0 - m_1)(|x+1| - |x-1|)

Jest to układ o wielostabilności, bogatej strukturze bifurkacji i klasycznym „podwójnym zwoju”.

4. Układ Aizawy

Układ Aizawy (1993) generuje toroidalny atraktor chaotyczny.

\begin{cases}\dot{x} = (z - \beta)x - \delta y, \\\dot{y} = \delta x + (z - \beta)y, \\\dot{z} = \gamma + \alpha z - \frac{z^3}{3} - (x^2 + y^2)(1 + \varepsilon z)\end{cases}

Układ ten ma interpretację jako zniekształcony system oscylatorów limit-cycle.

5. Układ Halvorsena

Układ Halvorsena jest symetrycznym układem trzech równań kwadratowych generujących silnie nieregularny chaos.

\begin{cases}\dot{x} = -a x - 4y - 4z - y^2, \\\dot{y} = -a y - 4z - 4x - z^2, \\\dot{z} = -a z - 4x - 4y - x^2\end{cases}

Dla a \approx 1.89 trajektorie tworzą charakterystyczny wielozwojowy atraktor.

Bibliografia

  1. Lorenz, E. N. (1963). Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20, 130–141
  2. Chua, L. O. (1992). The Genesis of Chua’s Circuit. Archive for History of Exact Sciences, 46, 701–738.
  3. Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear Dynamics and Chaos. CRC Press.
  4. Guckenheimer, J., & Holmes, P. (2002). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer.
  5. Ott, E. (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press.
  6. Alligood, K. T., Sauer, T., & Yorke, J. A. (1996). Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer.
  7. https://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_Lorenza#/media/Plik:Lorenz_attractor_yb.svg
  8. https://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_Rosslera#/media/Plik:Roessler_attractor.png
  9. https://www.blendswap.com/static/blendImages/2024/6/2/Blend/31553/Attractor%20-%20Halvorsen%20Text.png
  10. https://www.algosome.com/articles/images/aizawa-attractor.jpg
  11. https://mdpi-res.com/symmetry/symmetry-13-00340/article_deploy/html/images/symmetry-13-00340-g001.png

Otagowano, , ,

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *