Witam serdecznie! Dziś zajmiemy się funkcją specjalną: funkcją gamma. Funkcjami specjalnymi są funkcje, które nie są funkcjami elementarnymi tj. funkcje stałe, logarytm czy funkcje trygonometryczne. Funkcja gamma to funkcja specjalna, rozszerzające pojęcie silni na liczby rzeczywiste i zespolone. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to funkcja gamma ma postać: Zanim przedstawię własności owej […]
Cykl Hamiltona
Witam ponownie! Dziś zajmiemy się cyklem Hamiltona. Jest to zagadnienie podobne do cyklu Eulera z ta różnicą, że tym razem musimy przejść raz nie przez wszystkie krawędzie, a przez wszystkie wierzchołki. Na poniższym obrazie, przykład drogi Hamiltona w grafie: Cykl Hamiltona wiedzie przez poniżej wypisane wierzchołki: A B H I Q P G F O […]
Cykl Eulera
Witam! Dziś zajmiemy się zagadnieniem z teorii grafów. Dokładnie powiem o grafach eulerowskich. Na początek kilka prostych definicji: graf- graf to zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków krawędź- linia łącząca wierzchołki cykl- to ścieżka zamknięta, z takim samym ostatnim i […]
Sztuczny neuron
Najważniejszym krokiem w tworzeniu sztucznej sieci neuronowej jest określenie modelu neuronu. Matematyczny model neuronu będziemy nazywać neuronem formalnym. W uproszczeniu neuron wykazuje dwa podstawowe stany: spoczynku i wzbudzenia. Aby wzbudzić neuron potrzeba pewnej ilości nagromadzonych w czasie sygnałów wejściowych. Jednym z najważniejszych modeli neuronów jest neuron McCullocha-Pittsa(1943). Stan takiego modelu jest opisany poniższymi równaniami: gdzie: […]
Kropki kwantowe
Dziś w artykule o kropkach kwantowych. Na początek definicja: niewielki obszar przestrzeni ograniczony w trzech wymiarach barierami potencjału, nazywany tak, gdy wewnątrz uwięziona jest cząstka o długości fali porównywalnej z rozmiarami kropki. Dość hermetycznie. Ale zacznijmy od początku. Czym jest owa bariera potencjału? Jest nim ograniczony obszar, w którym energia potencjalna cząstki przyjmuje wartości większe […]
Funkcje trygonometryczne i cała reszta…
Witam serdecznie! Dziś poczytacie o goniometrii, czyli dziale matematyki zajmujący się funkcjami trygonometrycznymi. Wyjdziemy jednak dziś poza zakres szkoły średniej i dowiemy się czym są funkce cyklometryczne, hiperboliczne itd Zaczniemy od tych nam znanych, czyli funkcji trygonometrycznych. Okazuje się, że jest wiele sposobów na przedstawienie funkcji trygonometrycznych. Ja wybrałem dwa. Jedno z nich to Definicja […]
Konstrukcje liczb
Dziś dowiemy się o tym czym są liczby zespolone, kwaterniony, oktoniony i sedoniony. Zaczniemy od konstrukcji liczb zespolonych. A więc: liczba zespolona to liczba będąca elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną Wyglądają one tak: , gdzie i są liczbami rzeczywistymi a . Liczby zespolone są jedynym skończeniewymiarowym przemiennym ciałem obejmującym liczby rzeczywiste, różnym […]
Teoria grup: część I
Teoria grup to dział matematyki, który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami. Teoria grup ma wiele zastosowań: m.in.: kryptografia, krystalografia, genetyka czy też muzyka. Dziś omówimy podstawowe pojęcia tj. grupa, półgrupa, monoid. Podam też kilka przykładów grup. Zaczniemy od definicji grupy: Grupa to zbiór wyróżniony łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym […]
Homeomorfizmy
Dziś zajmiemy się homeomorfizmami. Nazwa straszna, ale intuicyjna. Zanim przejdziemy do sedna, przypomnę co oznaczają pojęcia tj. ciągłość, funkcja odwrotna oraz bijekcja. Zaczniemy od ciągłości: Funkcją ciągłą (rzeczywistą) (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale) nazywamy taką funkcję, której wykresem jest ciągła linia tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru. Bardziej formalnie oznacza to, że […]
Krzywe eliptyczne
Krzywą eliptyczną będziemy nazywać gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem O, zwanym “punktem w nieskończoności”. Straszne, prawda? To może prościej: Krzywą eliptyczną reprezentuje równanie algebraiczne postaci: A wcześniej wspominany punkt w nieskończoności to “górny koniec osi . A genusem nazywać będziemy liczbę otworów w rozmaitości. […]