10 zadań z geometrii różniczkowej
Tekst rozpoczyna się od klasycznej teorii krzywych przestrzennych, gdzie na przykładzie linii śrubowej wprowadzane są fundamentalne niezmienniki geometryczne. Czytelnik dowiaduje się, jak za pomocą pochodnych wektora położenia oraz pojęcia długości łuku definiuje się i oblicza krzywiznę oraz skręcenie, zwane też torsją. Te parametry jednoznacznie opisują zachowanie linii w przestrzeni trójwymiarowej, pokazując stopień jej wygięcia oraz […]
Teoria pola
1. Pojęcie pola w fizyce i matematyce Pojęcie pola stanowi jedno z najbardziej fundamentalnych pojęć zarówno w matematyce, jak i w fizyce teoretycznej, opisując wielkości fizyczne i geometryczne przypisane punktom przestrzeni lub czasoprzestrzeni. W ujęciu matematycznym pole skalarne definiuje się jako funkcję , gdzie jest rozmaitością, natomiast pole wektorowe jako przekrój wiązki stycznej . Każdemu […]
Rotacja, gradient i dywergencja
1. Wprowadzenie do analizy wektorowej Analiza wektorowa jest działem matematyki zajmującym się badaniem pól wektorowych i skalarnych oraz operatorów różniczkowych działających na tych polach. Stanowi ona podstawowy język opisu zjawisk fizycznych w mechanice klasycznej, elektrodynamice, mechanice płynów oraz teorii pola, gdzie wielkości fizyczne zależą jednocześnie od położenia w przestrzeni i czasu. Podstawowym obiektem jest wektor […]