Homeomorfizmy

Dziś zajmiemy się homeomorfizmami. Nazwa straszna, ale intuicyjna.
Zanim przejdziemy do sedna, przypomnę co oznaczają pojęcia tj. ciągłość, funkcja odwrotna oraz bijekcja.

Zaczniemy od ciągłości:
Funkcją ciągłą (rzeczywistą) (określoną na zbiorze \mathbb {R} lub jego podprzedziale) nazywamy taką funkcję, której wykresem jest ciągła linia tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.

Bardziej formalnie oznacza to, że mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji.

Warto wiedzieć, że wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji \mathbb{C} \to \mathbb{C}) (funkcje zespolone)
Trzeba wspomnieć o tym, że złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Funkcja odwrotna:
Funkcję f: X \rightarrow Y nazywamy odwracalną w Y, gdy istnieje funkcja g: Y \rightarrow X taka, że:
g(f(x))= x dla każdego x \in X
f(g(y))= y dla każdego y \in Y

Przykładem funkcji odwrotnych jest: Funkcja logarytmiczna do funkcji wykładniczej.

A teraz czas na bijekcje: jest to funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i “na”.

Homeomorfizm to bijekcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, która jest ciągła oraz której funkcja odwrotna jest również ciągła.
Przykładem takich przestrzeni topologicznych jest bijekcja torusa w “kubek”, co widać na poniższej animacji:

mug_and_torus_morph

Mówiąc o homeomorfizmach warto wspomnieć o homotopii.
Definicja jest bardzo podobna, jednak trzeba zaznaczyć, że homeomorfizm to odwzorowanie a homotopia to relacja o specjalnych własnościach między odwzorowaniami.

Intuicyjnie homotopia oznacza deformację jednego odwzorowania w drugie.

Jeśli uznamy, że krzywa to odwzorowanie ciągłe odcinka w przestrzeń (topologiczną), to tę krzywą można deformować (jak z drutu) w inną i to będzie homotopia między krzywymi.
Na przykład ściąganie pętli, czyli krzywej zamkniętej (np. na sferze lub torusie) opisuje się właśnie za pomocą relacji homotopii (w tym celu wymyślono to pojęcie, a potem, jak zwykle, uogólniono).

Na dziś tyle, mam nadzieje, że wpis się spodoba 🙂

2 thoughts on “Homeomorfizmy”
  1. Volkhv pisze:
    5 grudnia 2016 o 21:45

    Więc drogie kubki – nie dajcie się zamienić w donuta.

    Odpowiedz
  2. DDDDawiddddd pisze:
    6 grudnia 2016 o 11:40

    Jak zwykle pełen profesjonalizm, istna magia 😀

    Odpowiedz
Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Filed under: Matematyka,Topologia - @ 5 grudnia 2016 21:32

Tagi: , , , , ,