Kryteria zbieżności szeregów cz. I

Witam!
Może na początek czym jest szereg. Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników.
Może on się składać z wyrazów liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych).

Warto na początek dodać, że szereg $\displaystyle{\sum a_n}$ jest zbieżny jeśli ciąg sum ma granicę skończoną.

Zaczniemy od kryterium porównawczego:
Załóżmy, że dla każdego $n \in N$ zachodzą nierówności:

$0\leq a_n \leq b_n$

W takiej sytuacji mamy:
Jeśli szereg $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ jest zbieżny to szereg $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ jest zbieżny.

Czas na przykład:
Zastosuj kryterium porównawcze:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n-1}{3n-1}}$
$\displaystyle{\frac{2^n+1}{3^n-1}\leq\frac{2^2+2^n}{3^n-1}\leq\frac{2^n+2^n}{3^n}=\frac{2\cdot 2^n}{3^n}=2 \cdot(\frac{2}{3})^n}$

Kryterium ilorazowe
Możemy założyć, że od pewnego miejsca począwszy wyrazy ciągów $a_n$ i $b_n$ są dodatnie oraz istnieje granica
$k= \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}}$
która jest właściwa i dodatnia $0$ < $k$ < $\infty$ , wówczas szeregi $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ oraz $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ są albo oba zbieżne albo oba rozbieżne. Kryterium to stosujemy gdy mamy $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ i szukamy szerego $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ , gdzie podejrzewamy, że jest on zbieżny lub rozbieżny oraz podejrzewamy granicę $\lim_{n\rightarrow \infty}}\frac{a_n}{b_n$ że jest dodatnia i skończona. Najłatwiej stosuje się to kryterium do funkcji wymiernych zmiennej n. Dzięki temu możemy za szereg $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ podstawić $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}$ $\frac{1}{n^p}$ dla odpowiednio dobranego p>1.

Kryterium d’Alemberta
Zakładamy, że jestnieje granica $\displaystyle{q=\lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}$ . Wówczas szereg $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ :
jest zbieżny, jeśli q<1 jest rozbieżny, jeśli q>1 (w szczególności jeśli q= $\infty$ ).

Ciakwostką jest, że jeśli q=1 kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ czy szereg jest zbieżny czy nie.

Łatwo sprawdzić, że $\displaystyle{\lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1}$ dla $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{n^2}$ a także $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{n}$

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{1}}{n^2}}=\lim \frac{n^2}{(n+1)^2}=1$
tak ot wygląda dla pierwszego przypadku, teraz rozważymy drugi:
$\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\frac{1}{n+1}}{1}}{n}= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=1$